2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷(解析版)

17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b． （1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；

（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

【考点】基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】（1）当a=90时，b=40，求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的最大值；

（2）表示出体积，利用基本不等式，导数知识，即可确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

【解答】解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a=90时，b=40， 从而包装盒子的侧面积S=2×x（90﹣2x）+2×x（40﹣2x）=﹣8x2+260x，x∈（0，20）．…

因为S=﹣8x2+260x=﹣8（x﹣16.25）2+2112.5，

故当x=16.25时，侧面积最大，最大值为2112.5平方厘米．

（2）包装盒子的体积V=（a﹣2x）（b﹣2x）x=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]，x∈（0，），b≤60．…

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V=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]≤x（ab﹣4=4x3﹣240x2+3600x．…

当且仅当a=b=60时等号成立．

x+4x2）=x

设f（x）=4x3﹣240x2+3600x，x∈（0，30）．则f′（x）=12（x﹣10）（x﹣30）． 于是当0＜x＜10时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上单调递增； 当10＜x＜30时，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上单调递减． 因此当x=10时，f（x）有最大值f（10）=16000，…此时a=b=60，x=10． 答：当a=b=60，x=10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．…

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：

+

=1经过

点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求 （3）记直线l与y轴的交点为P．若

=

的值；

，求直线l的斜率k．

【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由题意得e2=解得b2；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为y=k（x﹣1）．

，

．又a2=b2+c2，

，

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联立直线l与椭圆方程

，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，可

设直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程

，消去y得（2k2+1）

x2=8，由MN∥l，得

?=﹣[x1x2﹣由（1﹣x1）（x2﹣1）（x1+x2）+1]=可．

2

=4x2=．得（xM﹣xN）

．即

（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而

，

由

=

得

…①，由（2）知…②由①②得

?50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2

【解答】解：（1）因为椭圆椭圆C： +=1经过点（b，2e）所以 ．

因为e2=

，所以，

又∵a2=b2+c2，，解得b2=4或b2=8（舍去）．

所以椭圆C的方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

因为T（1，0），则直线l的方程为y=k（x﹣1）．

，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，

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联立直线l与椭圆方程

所以x1+x2=，x1x2=．

因为MN∥l，所以直线MN方程为y=kx，

联立直线MN与椭圆方程消去y得（2k2+1）x2=8， 解得x2=

因为MN∥l，所以

因为（1﹣x1）?（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=（xM﹣xN）2=4x2=所以

．

=

．

．

（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k）， 从而∵

=

，

， …①

由（2）知…②

由①②得﹣

（舍）．

．…

?50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2=2或k2=

又因为k＞0，所以k=

19．已知函数f （x）=ex﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R． （1）若a=e，函数g （x）=（2﹣e）x．

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