2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题22 等腰三角形(含解析)

D，点 E 为 C 延长线上一点，且∠CDE＝ ∠BAC．

（1） 求证：DE 是⊙O 的切线；

（2） 若 AB＝3BD，CE＝2，求⊙O 的半径．

【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC＝90°，按照等腰三角形的性质和已知的 2 倍角关系，证明∠ODE 为直角即可；

（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．

【解答】解：（1）如图，连接 OD，AD，

∵AC 是直径，

∴∠ADC＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC， ∵∠CDE＝∠BAC． ∴∠CDE＝∠CAD，

∵OA＝OD，

∴∠CAD＝∠ADO，

∵∠ADO+∠ODC＝90°，

∴∠ODC+∠CDE＝90°

∴∠ODE＝90°

又∵OD 是⊙O 的半径

∴DE 是⊙O 的切线；

（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

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∵AB＝3BD，

∴AC＝3DC，

设 DC＝x，则 AC＝3x，

∴AD＝ ＝2x，

∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，

∴△CDE∽△DAE， ∴∴DE＝4

＝

，即

＝，

＝

，x＝

∴AC＝3x＝14，

∴⊙O 的半径为 7．

【点评】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．

2. （2019?湖北十堰?12 分）已知抛物线 y＝a（x﹣2）2+c 经过点 A（2，0）和 C（0，），与 x 轴交于另一点 B，顶点为 D．

（1） 求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标；

（2） 如图，点 E，F 分别在线段 AB，BD 上（E 点不与 A，B 重合），且∠DEF＝∠A，

则△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由；

（3） 若点 P 在抛物线上，且 ＝m，试确定满足条件的点 P 的个数．

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【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．

（2） 可能．分三种情形①当 DE＝DF 时，②当 DE＝EF 时，③当 DF＝EF 时，分别求

解即可．

（3） 如图 2 中，连接 BD，当点 P 在线段 BD 的右侧时，作 DH⊥AB 于 H，连接 PD，

PH，PB．设 P[n，﹣

（n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD 的面积的最大值，再

根据对称性即可解决问题．

【解答】解：（1）由题意：

，

解得

，

∴抛物线的解析式为 y＝﹣∴顶点 D 坐标（2，3）．

（x﹣2）2+3，

（2） 可能．如图 1，

∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），

∴AB＝8，AD＝BD＝5，

①当 DE＝DF 时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，

∴EF∥AB，此时 E 与 B 重合，与条件矛盾，不成立．

②当 DE＝EF 时，

又∵△BEF∽△AED，

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∴△BEF≌△AED，

∴BE＝AD＝5

③当 DF＝EF 时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，

△FDE∽△DAB， ∴∴

＝＝

， ＝，

∵△AEF∽△BCE ∴

＝

＝，

，

时，△CFE 为等腰三角形．

∴EB＝ AD＝

答：当 BE 的长为 5 或

（3） 如图 2 中，连接 BD，当点 P 在线段 BD 的右侧时，作 DH⊥AB 于 H，连接 PD，

PH，PB．设 P[n，﹣

（n﹣2）2+3]，

则 S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣4×3＝﹣（n﹣4）2+， ∵﹣＜0，

∴n＝4 时，△PBD 的面积的最大值为，

2+3]+×3×（n﹣2）（n﹣2）﹣×

∵ ＝m，

∴当点 P 在 BD 的右侧时，m 的最大值＝＝ ，

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