插值与拟合总复习

第二章 插值与拟合 .19 . xi 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 f?xi? 0.410 75 0.578 15 0.696 75 0.888 11 1.026 52 一阶差商 1.116 00 1.186 00 1.275 73 1.384 10 二阶差商 0.280 00 0.358 93 0.433 48 三阶差商 0.197 33 0.213 00 四阶差商 0.031 34 故四次牛顿插值多项式为

P4?x??0.41075?1.11600?x?0.4??0.28000?x?0.4??x?0.55??

0.19733?x?0.4??x?0.55??x?0.65??0.03134?x?0.4??x?0.55?? ?x?0.65??x?0.80? 于是f?0.596?≈P4?0.596?＝0.631 95。

例2.6已知sinx的函数表如下：

xk sinxk

1.566 0.999 988 5 1.567 0.999 992 8 1.568 0.999 996 1 1.569 0.999 998 4 1.570 0.999 999 7 求满足sinx＝0.999 995 0的x值（真解为x?1.5676340）。 分析

一般情况下，已知?xi,f?xi??，求某一x处f?x?的近似值，这是所谓的插值

问题。本题是求满足f?x?＝sinx＝0.999 995 0的x值，与原插值问题刚好相反。如果求出Pn?x?，令Pn?x?等于某一函数值，需通过解方程求x。若将xk作为函数值，把sinxk作为自变量，求出插值多项式Pn?y?，求Pn?y?的函数值x比解方程要容易得多。这类问题称为“反插值”。用反插值时必须注意反插条件，即函数y?f?x?有反函数，也就是要求

. 20 . 实用数值分析解题指导

y?f?x?单调。本题中数表单调，故可用反插值求x。

k 0 1 2 3 4 yk 0.999 988 5 0.999 992 8 0.999 996 1 0.999 998 4 0.999 999 7 xk 1.566 1.567 1.568 1.569 1.570 一阶差商 232.558 14 303.030 30 434.782 61 769.230 77 二阶差商 9 272 652.6 23 527 198.2 92 902 266.7 三阶差商 1.43 853 1 ×10 1.005 435 8 ×10 1312四阶差商 7.691 522 3 ×10 17解 用牛顿插值公式，先构造差商表如下： 故

x≈1.566＋232.558 14×（0.999 995 0－y0）＋9 272 652.6×

（0.999 995 0－y0）×（0.999 995 0－y1）＋1.439 853 1×10× （0.999 995 0－y0）（0.999 995 0－y1）×（0.999 995 0－y2）＋

7.691 522 3×10×（0.999 995 0－y0）（0.999 995 0－y1）× （0.999 995 0－y2）（0.999 995 0－y3）≈1.567 624 1

注：本题也可不用所有已知插值条件来求解。若取x0=1.567，x1=1.568用线性插值，可得满足sinx＝0.999 995 0的x的近似值x≈1.567 666 7；若取x0=1.567，x1=1.568，

1712x2=1.569，也可得二次方程－0.5x2＋1.570 8x－0.233 706 3＝0.999 995 0，解得x?≈1.567

第二章 插值与拟合 .21 .

63，x??≈1.573 97，因待取之x应满足1.567

例2.7设x0，x1?，xn为n＋1个互异的插值节点，li?x?（i=0，1，?，n）为拉格朗日插值基函数。证明：

⑴?li?x??1；

i?0nn⑵?li?x?xi?x,k?0，1，2，?，n；

kki?0n⑶??xi?x?li?x??0,k?0，1，2，?，n；

ki?0分析 本题有3个小题，都是善于插值基函数li?x?（i=0，1，?，n）性质的一些问题。考虑证明方法时，应该对常数进行插值和对x进行插值方面入手，通过耐心推证或巧妙地选取被插函数，有可能得到所需结论。

证 ⑴对f?x??1，在x0，x1?，xn处进行n次拉格朗日插值，则有 1＝Pn?x??Rn?x??nk?li?x??1?i?0n1?n?1?!fn?1????n?1?x?

由于fn?1???＝0，故有?li?x??1。

i?0k⑵对f?x??x（k?0，1，?，n）进行n次拉格朗日插值，就有

?l?x?xii?0nki?xk

（由此推论：任何次数不超过n的多项式的n次拉格朗日插值多项式就是它本身。） ⑶将?xi?x?按二项式展开，得

k?xi?x?k＝???1?j?0kk?j?k?jk?j? ?j??xix??代入题的左端，得

. 22 . 实用数值分析解题指导

?kk?j?k?jk?j?????xi?x?li?x???????1???j??xix?li?x??i?0i?0?j?0???nkn???1?j?0kk?j?k?k?jnj??j??x?xili?x?

i?0??利用⑵的结论，有

?kk?j?k?jk?j????xk????????x?xlx??1xx?i???ii?j??i?0i?0?j?0???nknk?j???1???j?0k?k???0 ??j?例2.8 求函数y?arctanx在[?1,1]上的一次最佳平方逼近多项式。

解 设?0(x)?1,?1(x)?x,??span{?0,?1}，所求函数为?1(x)?a0?a1x，则 (?0,?0)? (?0,?1)? (?1,?1)?***??101dx?1

1

101xdx?x2dx????21013(?0,y)?(?1,y)?由正规方程组

01arctanxdx??4?12?ln2 12

0xarctanxdx??4?a*?1a*???1ln2 ?02142 ?11*?1*?a0?a1?? 342?2解得

*a0?3?2ln2?*a1???0.042909 23??6?3ln2?0.791831 2*?1(x)?0.042909?0.791831x

例2.9 给出离散数据