大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法

Gauss-Seidel迭代都收敛。

3210、求方程x?x?1?0在x0?1.5附近的一个根，将方程改写为四种等价形式

（1）、x?1?1（2）、x?31?x2（3）、x?x3?1（4）、x?2x1x?1

试分析据此构造的迭代格式的收敛性，选择收敛最快的格式求根，使之误差不超过

1?10?3，2对收敛最慢的格式用Aitken加速，结果如何？

解：利用迭代格式xn+1=φ(xn)求解方程时，算子φ只要满足两条：

1）映内性xn∈[a,b]，φ(xn) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ’∣≤L＜1，那么迭代收敛。逐个判断上述4种格式的映内性和压缩性比较麻烦，我们先判断方程根的区间。

令f(x)?x3?x2?1,f(1)??1?0,f(2)?3?0,可见在[1，2]中f(x)至少有一个实根 而f'(x)?3x2?2x?x(3x?2),当x?[1,2]时，f'(x)?0,可见在[1，2]中f(x)仅有一个实根现在x0?1.5，利用4种迭代格式，是企图求出[1，2]中的这个实根。最简便的方法是直接利用计算机迭代，结果如下：

迭代格式 （1） （2） （3） （4）

12 6 计算次数 发散 发散

1.4657 1.4659 根

可见，迭代格式（1）、（2）收敛，其中（2）最快；而迭代格式（3）、（4）发散。 Aitken 加速公式xk??(xk?1),xk?1??(xk),xk?xk?1????(xk?1?xk)2xk?1?2xk?xk?1????，利用它对迭代

格式（1）加速后，8次迭代（计算16次φ值），得根1.4662，对迭代格式（3）、（4）加速后仍不收敛。

12、用Newton 迭代公式求下列方程的根，要达到x(k)?x(k?1)?10?5

32（1）、x?x?x?1?0,取x0?0 ?x（2）x?e,取x0?0

（3）tanx?cosx?1,取x0?0 2解：（1）先判断方程根的区间。

令f(x)?x3?x2?x?1,f(0)??1?0,f(2)?1?0,可见在[0，2]中f(x)至少有一个实根而f'(x)?3x2?2x?1?(x?1)(3x?1),当x?[0,1]时，f'(x)?0,当x?(1,2]时，f'(x)?0,可见1是局部极小值点，此时f(1)??2，因此[0，2]中仅一个实根利用xk?132xk?xk?xk?1?xk?,x0?0,求出x?1.839287 23xk?2xk?1（2）先判断方程根的区间。

令f(x)?x?e?x,f(0)??1?0,f(1)?1?e?1?0,可见在[0，1]中f(x)至少有一个实根 而f'(x)?1?e?x,当x?[0,1]时，f'(x)?0,因此[0，1]中仅一个实根

利用xk?1xk?e?xk?xk?,x0?0,求出x?0.567143

1?e?xk（3）先判断方程根的区间。

令f(x)?tanx?cosx?0.5,f(0)??1.5?0,f(1)?tan1?cos1?0.5?0可见在[0，1]中f(x)至少有一个实根

而f'(x)?sec2x?sinx,当x?[0,1]时，f'(x)?0,因此[0，1]中仅一个实根

利用xk?1?xk? 14、

tanxk?cosxk?0.5,x0?0,求出x?0.857057

sec2xk?sinxk若f(x)?ex?e?x?0,容易验证0是方程的唯一实根，用Newton法求根，收敛阶为多少？此例说明了什么？

解:令f(x)?ex?e?x,f(?1)?0,f(1)?0,可见在[?1，1]中f(x)至少有一个实根 而f'(x)?ex?e?x?0,对于一切x，因此0是唯一实根， 由于f'(0)?0,Newton公式至少二阶收敛。

15、用弦截法求下列方程的根，要达到x(k)?x(k?1)?10?5

2（1）、xe?1?0,取x01?0.5,x02?0.6 32（2）x?3x?x?9?0,取x01??2,x02??1.5 3（3）x?2x?5?0,取x01?2,x02?3

解：（1）先判断方程根的区间。

令f(x)?xe2?1,f(0)??1?0,f(1)?e2?1?0,可见在[0，1]中f(x)至少有一个实根而f'(x)?e2?0,[0，1]中的根也是唯一的实根，无论初始点如何，都收敛到唯一解利用xk?1(xke2?1)(xk?xk?1)?xk?,x01?0.5,x1?x01?0.000001,求出x?0.135335 22xke?xk?1e（2）先判断方程根的区间。

令f(x)?x3?3x2?x?9,f(?2)?0,f(?1)?0,可见在[?2,?1]中f(x)至少有一个实根而f'(x)?3x2?6x?1,当x?[?2,?1]时，f'(x)?0,因此[?2,?1]中仅一个实根无论取x01??2,x02??1.5，应该都收敛到同一个实根。利用弦截法时取x01??2,x1?x01?0.000001利用公式xk?1?xk?

（3）先判断方程根的区间。

f(xk)(xk?xk?1)，求出x??1.52510f(xk)?f(xk?1)令f(x)?x3?2x?5,f(1)?0,f(3)?0,可见在[1,3]中f(x)至少有一个实根而f'(x)?3x2?2,当x?[1,?)时，f'(x)?0,因此[1,?)中仅一个实根无论取x01?2,x02?3，应该都收敛到同一个实根。利用弦截法时取x01?2,x1?x01?0.000001利用公式xk?1?xk?f(xk)(xk?xk?1)，求出x?2.09455f(xk)?f(xk?1)

16、Heonardo于1225年研究了方程

f(x)?x3?2x2?10x?20?0,并得出了一个实根??1.368808107，请你构造一种简

单迭代格式验证该著名结果。 解：

f(x)?x3?2x2?10x?20,f(1)?0,f(2)?0,f'(x)?0,当x?[1，2],Newton迭代法最为有效，将x0?1.3带入公式，求得??1.36880810782137可见，其结果是正确的，如果对它的末位四舍五入，取??1.368808108将更精确。

17、应用Newton法求cos(x)sh(x)?1?0的头5个非零正实根 解：

ex?e?x令f(x)?cos(x)sh(x)?1?cos(x)()?1,f(x)将在（??，?）有多个正根 2不妨从（0，?）中找出5个。从0开始，以步长h=0.01搜索，出现函数值变号区间，立即以中点为初值，用Newton法加速迭代，找出负根舍弃，正根保留，然后继续搜索。求出5个正根为 4.73004344778508，7.8532046238611，10.9956078380018 14.1371654912575，17.2787596573995

18、用二分法求2e?x(k)*?sin(x)?0，在区间[0，1]内的根，要达到x?x?1?10?5 2(??0.9210245)

19、用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量；用QR法计算下列矩阵特征值，当主特征值有3位小数稳定时停止。

?2?10???4140?????A1 =?12?1，A2 =?5130 ???????0?12????102??1）特征值=(0.5858，2.0000，3.4142)，主特征值=3.4142

T

主特征值对应的特征向量（-0.5000，0.7071，-0.5000） 2）特征值=(2.0000，6.0000，3.0000)，主特征值=6.0000

T

主特征值对应的特征向量（0.7974，0.5696，-0.1994）

20、用反幂法计算矩阵的模最小特征值及对应的特征向量；用QR法计算矩阵特征值，当特征值有3位小数稳定时停止。

?289???A =834 ????947??特征值=(-7.0709，0.8133，18.2576)，模最小特征值=0.8133，其对应的特征向量为

T

（-0.1341，-0.7318，0.6682）

?30?10???有特征值的近似值4.3，试用原点位移的反幂法求出特征值和

421、矩阵A =?13????01?2??对应特征向量

解：已知特征值的一个近似值之后，??4.3就可能成为矩阵A?4.3I的模最小特征值，这

T

样用反幂法，求出它的最小特征值为0.2745，对应特征向量（-0.6907，0.7149，0.1087），于是??4.3?0.2745?4.5745，又由(A?4.3I)x?0.2745x得到，Ax?4.5745x，可见特征向量仍不变。

21??x1???12??5???x?=?10?

222、试用SOR法（ω=0.9）解线性方程组?14???2?????1?310????x3????3??（1）、证明此时SOR法收敛 （2）、求满足maxxi1?i?3(k?1)?xi(k)?10?5的解

?(D??L)?1[(1??)D??U]xk?(D??L)?1?b代入ω=0.9

解：（1）SOR格式 xk?1