2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国I卷）（解析版）

??AF?cos??GF?AK（几何关系）1?? 易知?AK1?AF（抛物线特性）??GP?P???P??P???2?2??∴AF?cos??P?AF 同理AF?PP ，BF?1?cos?1?cos?2P2P? ∴AB?1?cos2?sin2?π?? 2又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为

DE?2P2P??cos2? 2?πsin?????2?而y2?4x，即P?2．

4221??14?sin??cos??212 ∴AB?DE?2P?2???42sin2?sin?cos2??sin?cos??sin2?cos2?416π?2≥16，当??取等号 sin2?4即AB?DE最小值为16，故选A

11. 设x，y，z为正数，且2x?3y?5z，则（）

A．2x?3y?5z B．5z?2x?3y 【答案】D

【答案】取对数：xln2?yln3?ln5.

xln33?? yln22C．3y?5z?2x D．3y?2x?5z

∴2x?3y

xln2?zln5

则

xln55?? zln22∴2x?5z∴3y?2x?5z，故选D

12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解

数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列

1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，在接下来的三项式26，21，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N：N?100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A．440 B．330 C．220 D．110 【答案】A

【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．

设第n组的项数为n，则n组的项数和为由题，N?100，令

n?1?n?2n?1?n?2

?100→n≥14且n?N*，即N出现在第13组之后

n1?2第n组的和为?2n?1

1?2n组总共的和为

21?2n1?2???n?2n?2?n

n?1?n?2若要使前N项和为2的整数幂，则N?k*n≥14 即2?1?2?nk?N，项的和2k?1应与?2?n互为相反数

??k?log2?n?3? →n?29，k?5 则N?29??1?29?2?5?440

故选A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量a，b的夹角为60?，a?2，b?1，则a?2b?________． 【答案】23

【解析】a?2b?(a?2b)2?a?2?a?2b?cos60??2b∴a?2b?12?23 ?x?2y?1?14. 设x，y满足约束条件?2x?y??1，则z?3x?2y的最小值为_______．

?x?y?0?22??21?22?2?2?2??22?4?4?4?12

2【答案】?5

?x?2y?1?不等式组?2x?y??1表示的平面区域如图所示

?x?y?0?yACB1xx+2y-1=0

2x+y+1=03zx?， 223z求z的最小值，即求直线y?x?的纵截距的最大值

223z当直线y?x?过图中点A时，纵截距最大

22由z?3x?2y得y?

?2x?y??1由?解得A点坐标为(?1,1)，此时z?3?(?1)?2?1??5

x?2y?1?

x2y215. 已知双曲线C:2?2，（a?0，b?0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲

ab线C的一条渐近线交于M，N两点，若?MAN?60?，则C的离心率为_______．

【答案】23 3【解析】如图，

OA?a，AN?AM?b

∵?MAN?60?，∴AP?3bAP2?∴tan?? OP322a?b43bbb2?，解得a2?3b2 又∵tan??，∴a3aa2?b243b，OP?2322OA?PA?a2?b2

4b2123∴e?1?2?1??

a33

16. 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D、E、F为

元O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是一BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______．

【答案】415 【解析】由题，连接OD，交BC与点G，由题，OD?BC

OG?3BC，即OG的长度与BC的长度或成正比 6

设OG?x，则BC?23x，DG?5?x

三棱锥的高h?DG2?OG2?25?10x?x2?x?25?10x 1S△ABC?23?3x??33x2

212则V?S△ABC?h?3x?25?10x=3?25x4?10x5 354534令f?x??25x?10x，x?(0,)，f??x??100x?50x

2令f??x??0，即x4?2x3?0，x?2 则f?x?≤f?2??80 则V≤3?80?45

∴体积最大值为415cm3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

a2ac17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为，b，，已知△ABC的面积为．

3sinA（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC?1，a?3，求△ABC的周长．

【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.

1a2.且S?bcsinA （1）∵△ABC面积S?23sinAa21?bcsinA ∴3sinA2322∴a?bcsinA

2322∵由正弦定理得sinA?sinBsinCsinA，

22由sinA?0得sinBsinC?.

321（2）由（1）得sinBsinC?，cosBcosC?

36∵A?B?C?π

∴cosA?cos?π?B?C???cos?B?C??sinBsinC?cosBcosC?又∵A??0，π?

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