2015年山东省德州市中考数学试题及解析

又∵∠APC=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°． 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°， ∴∠ADC=∠APB， 在△APB和△ADC中， ， ∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP=CD， 又∵PD=AP， ∴CP=BP+AP； （3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大． 理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E． 过点C作CF⊥AB，垂足为F． ∵S△APE=AB?PE，S△ABC=AB?CF， ∴S四边形APBC=AB?（PE+CF）， 当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径， ∴此时四边形APBC的面积最大． 又∵⊙O的半径为1， ∴其内接正三角形的边长AB=， ∴S四边形APBC=×2×=． 第21页（共26页）

点评： 本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键． 22．（10分）（2015?德州）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）根据图象求y与x的函数关系式；

（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为多少？

考点： 一次函数的应用；一元二次方程的应用． 分析： （1）根据图象可设y=kx+b，将（40，160），（120，0）代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据每千克的利润×销售量=2400元列出方程，解方程求出销售单价，从而计算销售量，进而求出销售成本，与3000元比较即可得出结论． 解答： 解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b， 将（40，160），（120，0）代入， 得，解得， 所以y与x的函数关系式为y=﹣2x+240（40≤x≤120）； （2）由题意得（x﹣40）（﹣2x+240）=2400， 2整理得，x﹣160x+6000=0， 解得x1=60，x2=100． 当x=60时，销售单价为60元，销售量为120千克，则成本价为40×120=4800（元），超过了3000元，不合题意，舍去； 当x=100时，销售单价为100元，销售量为40千克，则成本价为40×40=1600（元），低于3000元，符合题意． 所以销售单价为100元． 答：销售单价应定为100元． 点评： 本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，利用待定系数法求出y与x的函数关系式是解题的关键． 23．（10分）（2015?德州）（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD?BC=AP?BP． （2）探究

如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．

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（3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题：

如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．

考点： 相似形综合题；切线的性质． 专题： 探究型． 分析： （1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5﹣4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD?BC=AP?BP，就可求出t的值． 解答： 解：（1）如图1， ∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP+∠APD=90°， ∠BPC+∠APD=90°， ∴∠ADP=∠BPC， ∴△ADP∽△BPC， ∴=， ∴AD?BC=AP?BP； （2）结论AD?BC=AP?BP仍然成立． 理由：如图2， 第23页（共26页）

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP， ∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP． ∵∠DPC=∠A=∠B=θ， ∴∠BPC=∠ADP， ∴△ADP∽△BPC， ∴=， ∴AD?BC=AP?BP； （3）如图3， 过点D作DE⊥AB于点E． ∵AD=BD=5，AB=6， ∴AE=BE=3． 由勾股定理可得DE=4． ∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切， ∴DC=DE=4， ∴BC=5﹣4=1． 又∵AD=BD， ∴∠A=∠B， ∴∠DPC=∠A=∠B． 由（1）、（2）的经验可知AD?BC=AP?BP， ∴5×1=t（6﹣t）， 解得：t1=1，t2=5， ∴t的值为1秒或5秒． 点评： 本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想． 第24页（共26页）