中考函数综合题专题

初中数学资料

y 7．在直角坐标系中，把点A（－1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到点A?，经过点A、A?的抛物线y?ax2?bx?c与y轴的交点的纵坐标为2．

（1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P，点B的坐标 为（1，m)，且m?3，若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标。

O

2y?ax?bx?c ．解：（1）设抛物线的解析式为 点A（－1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到点 A?（3，a）…………（1分） ∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为2 ∴c?2…………（1分）

?a?b?c?a??A ∵ 图像经过点A（－1，a）、（3，a） ∴?9a?b?c?a…（1分） 解得

2y??x?2x?2…………………（1分） ∴

2y??x?2x?2=??x?1??3 得P(1，3) AP?25……………（1分） （2）由

（1，m),且m?3 ∵△ABP是等腰三角形,点B的坐标为

图7

?a??1??b?2……（2分）

2（Ⅰ）当AP=PB时， PB?25，即 3?m?25 …（1分） ∴m?3?25……（1分）

2222?????????1?1??1?3??1?1??1?m（Ⅱ）当AP=AB时

解得m?3,m??5……（1分） m?3不合题意舍去， ∴m??5………（1分） （Ⅲ）当PB=AB时 ?1?1???3?m????1?1????1?m?解得

2222m?12 ………（1分）

1 综上：当m?3?25或-5或2时，△ABP是等腰三角形.

2y 6 5 4 3 B 2 1 8．在直角坐标平面内，O为原点，二次函数y??x?bx?c的图像经过 A（-1，0）和点B（0，3），顶点为P。

（2） 求二次函数的解析式及点P的坐标； （2）如果点Q是x轴上一 点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标。 A

-4-3-2-10 1 2 3 4 5 6 7 x -1??1?b?c?0?c?3-2解：（1） 由题意，得? （2分） 解得b?2，c?3 （1分） -32y??x?2x?3∴二次函数的解析式是 （1分） -4， ∴点P的坐标是（1，4） （2分） 28 =90°（2） P（1，4），A（-1，0）∴AP=20．（1分） 设点Q的坐标是（x，0） ∠图PAQ不合题意 则

y??x2?2x?3???x?1??42AQ2??x?1?2，

PQ2??x?1??162 （1分）

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2222222?x?1???x?1??16?20，解得x1?1，x2??1（舍去） AQ?PQ?AP当∠AQP=90°时，，

∴点Q的坐标是（1，0） （2分） 22220??x?1??16??x?1?AP?PQ?AQ当∠APQ=90°时，，，解得x?9，

∴点Q的坐标是（9，0） （2分）

综上所述，所求点P的坐标是（1，0）或（9，0）．

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12y??x29．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线

经过点A(1,3)，B(0,1)．

（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C，

?bx?c①求△ABC的面积；②在y轴上取一点P，使△ABP与△ABC相似，求满足条件的所有P点坐标．

2，c?1． …………2分 2解：（1）将A(1,3)，B(0,1)，代入， 解得

15533y??x2?x?1(,)22∴抛物线的解析式为．………1分 ∴顶点坐标为28．……1分

1S?ABC?3?1?4?1?32（2）①由对称性得C(4,3)．……1分 ∴．…1分

②将直线AC与轴交点记作D， ∵BDCD2，∠CDB为公共角，

∴△ABD∽△BCD． ∴∠ABD =∠BCD．……………………………………1分

PBy??1x2?bx?cb?5yAD?BD?11°当∠PAB=∠ABC时，AC∵∴

?ABBC，

，BC?(0?4)2?(1?3)2?25PB?AB?(0?1)2?(1?3)2?5，AC?3

35P1(0,)2，∴2． ……………………………………………………2分

PB?ABACPB2°当∠PAB=∠BAC时，BC， ∴25?53， ∴

PB?103， ∴

P2(0,13)3．……2分

5(0,)(0,13)综上所述满足条件的P点有2，3． ……………………………1分

2yxOyy?2x10．在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向上平移1个单位，再沿x轴向右平移两个单

位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线x?3与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C．

（1）求△ABC面积； （2）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP与△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标．

10．解：…1分

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135(2,)(2,)点有2，3．…………1分

综上所述满足条件的P2y?2(x?2)?1．……2分 ∴A点坐标为（2，1）平移后抛物线的解析式为，……1分

设直线OA解析式为y?kx，将A（2，1）代入 得133y?xy?2得2，∴C点坐标为（3，2）将x?3代入．…………………1分

2y?2(x?2)?1得y?3， ∴B点坐标为（3，3）x?3将代入．…1分 ∴

k?11y?x2，直线OA解析式为2，

S?ABC?34…2分

（2）∵PA∥BC，∴∠PAB=∠ABC 1°当∠PBA=∠BAC时，PB∥AC，

PA?BC?∴四边形PACB是平行四边形，∴

AP?ABBC，∴

5P(2,)12．…1分 ∴2． …1分 322°当∠APB=∠BAC时，

ABAP?ABBC．

101322AP?P2(2,)AB?(3?2)?(3?1)?53…1分 ∴3 又∵，∴A -5-4-3-2-10 12345-1

-2

-3 -4 -5

11．如图，直线OA与反比例函数的图像交于点A(3，3)，向下平移直线OA，与反比例函数的图像交于点B(6，m)与y轴交于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式； （3）设经过A、B、C三点的二次函数图像的顶点为D，对称轴与x轴 的交点为E．问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P

y 为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由．

A

B O

C

y?x， 解：（1）由直线OA与反比例函数的图像交于点A(3，3)，得直线OA为：

54321y P B C x x y?双曲线为：

9933y?m?x，点B(6，m)代入x 得 2，点B(6，2) ， ……（1分）

y?32代入

设直线BC的解析式为 y?x?b，由直线BC经过点B，将x?6，得

b??92

y?x?b

92

…（1分） 所以，直线BC的解析式为

y?x?92… （1分）

99y?x??2得点C(0，2)，(2)由直线 设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为

y?ax2?bx?新光明张老师 初三数学总复习 << 初中数学函数综合 专题 >> 第 8 页 共 22 页