福建省福州一中2015届高考数学质检试卷（理科）（5月份）

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中

对应面积为S=

2

，

若f（x）=ax﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数， 则满足a＞0且对称轴x=即由

，对应的平面区域为△OBC，

，

，

解得，

∴对应的面积为S，

∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为故选：C

，

点评： 本题主要考查几何概型的概率公式的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键． 8．（5分）在棱长均为2的正四棱锥P﹣ABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是（）

A． BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为 B． BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为

C． BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角大于30° D． BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°

考点： 直线与平面所成的角． 专题： 计算题．

分析： 连接AC，BD，交点为O，以O为坐标原点，OC，OD，OP方向分别x，y，z轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线BE的方向向量与平面PAD的法向量，代入向量夹角公式，求出BE与平面PAD夹角的正弦值，再由正弦函数的单调性，即可得到答案．

解答： 解：连接AC，BD，交点为O，以O为坐标原点，OC，OD，OP方向分别x，y，z轴正方向建立空间坐标系

由正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为2，点E为PC的中点， 则O（0，0，0），A（﹣，0，0），B（0，﹣，0），C（，0，0），D（0，，0），

P（0，0，则

=（

），E（，

，

，0，），

）

，0，﹣

），

=（0，，且⊥

，﹣

），

=（﹣

设=（x，y，z）是平面PAD的一个法向量，则⊥即

，令x=1

则=（1，﹣1，﹣1）是平面PAD的一个法向量， 设BE与平面PAD所成的角为θ 则sinθ=

=

＜

故BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30° 故选D

点评： 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中建立适当的空间坐标系，将直线与平面的夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．

9．（5分）称d（

）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；

②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（） A．

B． ⊥（

）

C． ⊥（

）

D．（

）⊥（

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．

分析： 先作向量并设而得到

解答： 解：如图，作

，连接AC，则有

．

，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，

．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从

，则，t∥，

∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则： 根据向量距离的定义，对任意t都有d（∴AB⊥OB； ∴故选：C．

．

）=

；

点评： 考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．

10．（5分）已知抛物线M：y=4x，圆N：（x﹣1）+y=r（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是（） A． r∈（0，1]

B． r∈（1，2]

C．

D．

2

2

2

2

考点： 直线与圆锥曲线的关系．

专题： 综合题；压轴题；数形结合；转化思想；综合法．

分析： 本题中应用采用设出直线，将直线与圆，与抛物线联立起来，利用同一直线上的线段的长度比与两线段端点的纵坐标差的比成比例建立方程，再由根系关系将此方程转化为关于参数m的不等式，解出满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的充要条件，再依据必要条件的定义比对四个选项找出必要条件

解答： 解：x=1与抛物线交于（1，土2），与圆交于（1，土r），满足题设． 设直线l：x=my+1，（1）

22

代入y=4x，得y﹣4my﹣4=0，

2

△=16（m+1），

把（1）代入（x﹣1）+y=r得y=

2222

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， |AC|=|BD|

即y1﹣y3=y2﹣y4， 即y1﹣y2=y3﹣y4， 即4

2

=

即r=2（m+1）＞2， 即r＞2时，l仅有三条．

考查四个选项，只有D中的区间包含了（2，+∞） 即

是直线l只有三条的必要条件

故选D．

点评： 本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是根据题设条件解出满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的充要条件，再由必要条件的定义比对四个选项找出它的必要条件来．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11．（4分）若=．

考点： 专题： 分析： 解答：

微积分基本定理；函数的值． 计算题．

利用x＞0时，函数的周期是4，推出f=f（0），然后求解表达式的值． 解：∵x＞0，f（x）=f（x﹣4），所以f=f=…=f（0），

所以f（0）=∫故答案为：

costdt=sint=sin﹣sin0=．

点评： 本题考查函数值的求法，定积分的应用，考查计算能力．

12．（4分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于

．