第三章 1.3可线性化的回归分析

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性相关关系，由表中数据求得x＝5，y≈3.045，进而可以求得b≈－0.313，

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a＝y－bx＝4.61，所以y对x的线性回归方程为y＝4.61－0.313x.

由y＝ln U，得U＝ey，U＝e4.61－0.313x＝e4.16·e－0.313x，因此电压U对时间t的回归方程为U＝e4.61·e－0.313x.

要点三 非线性回归模型的综合应用

例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

身高x/cm 体重y/kg 身高x/cm 体重y/kg 60 6.13 120 20.92 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15.02 160 47.25 110 17.50 170 55.05 试建立y与x之间的回归方程．

解 根据题干表中数据画出散点图如图所示．

由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y. x z 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 画出散点图如图所示．

由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：z＝0.693＋0.020x，则有y＝e0.693＋

0.020x

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规律方法 根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系．

跟踪演练3 对两个变量x，y取得4组数据(1，1)，(2，1.2)，(3，1.3)，(4，1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下： 甲 y＝0.1x＋1，

乙 y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，

丙 y＝－0.8·0.5x＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际． 解 甲模型，当x＝1时，y＝1.1；当x＝2时，y＝1.2； 当x＝3时，y＝1.3；当x＝4时，y＝1.4.

乙模型，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝1.2； 当x＝3时，y＝1.3；当x＝4时，y＝1.3.

丙模型，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝1.2； 当x＝3时，y＝1.3；当x＝4时，y＝1.35.

观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际.

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1．在一次试验中，当变量x的取值分别为1，2，3，4时，变量y的值分别为2，1

3，4，5，则y与x的回归方程为( ) 12

A．y＝x＋1 B．y＝x＋3 C．y＝2x＋1 D．y＝x－1 答案 A

1

解析 由数据可得，四个点都在曲线y＝x＋1上．

2．某种产品的广告费支出与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：

广告费 销售额 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 则广告费与销售额间的相关系数为( ) A．0.819 B．0.919 C．0.923 D．0.95 答案 B

3．根据统计资料，我国能源生产发展迅速．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：

年份 产量 1996 12.9 2001 16.1 2006 19.3 2011 22.3 根据有关专家预测，到2020年我国能源生产总量将达到27.6亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种( ) A．y＝ax＋b(a≠0) B．y＝ax2＋bx＋c(a≠0) C．y＝ax(a>0且a≠1) D．y＝logax(a>0且a≠1) 答案 A

4．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是__________.

x/万元 y/万元 答案 (6，50)

2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

一、基础达标

1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据．根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程是y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值是

x 3 4 5 6

( )

y A.4.5 答案 C

B．4

2.5

t 4 4.5

D．3.15

C．3

2．下列数据x，y符合哪一种函数模型

x y 1 2 2 2.69

3 3 4 3.38

5 3.6 6 3.8 7 4 8 4.08 9 4.2 10 4.3 ( )

1A.y＝2＋3x 1

C．y＝2e

x答案 D

B．y＝2ex D．y＝2＋ln x

解析 取x＝1，2，…，10分别代入各解析式判断． 3．指数曲线y＝aebx的图像为

( )

答案 B

解析 ∵y＝aebx，∴a＞0时y＞0，排除A、C，且x∈R，排除D，选B. 4．为研究广告费用x与销售额y之间的关系，有人抽取了5家餐厅，得到的数据如下表：

广告费用x/千元 销售额y/千元 1.0 19.0 4.0 44.0 6.0 40.0 10.0 52.0 14.0 53.0 60x在同一坐标系中画散点图，直线L：y＝24＋2.5x，曲线C：y＝，如图所示．更

2＋x能表现这组数据之间的关系的是

( )