安徽省2001-2019年中考数学试题分类解析专题9：三角形

利用一些已知条件比如勾股定理等，来使化简的结果和三角形ABC的面积得出的结果相同。 14. （2008安徽省8分）小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度。(计算结果精确到0.1米，3?1.732)

【答案】解：在Rt△BCD中，CD=BC×sin60=20×又DE=AB=1.5，

∴CE=CD＋DE=CD＋AB=103+1.5=18.8(米)。 ∴此时风筝离地面高度不18.8米。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答。

15. （2008安徽省12分）已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。

（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC； （2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC； （3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。

【答案】解：（1）证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，

由题意知，OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL）。 ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC。

（2）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，EF分别是垂足，

3=103。 2

由题意知，OE＝OF。

在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE＝OF，OB＝OC， ∴Rt△OEB≌Rt△OFE（HL）。∴∠OBE＝∠OCF. 又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACD。 ∴AB＝AC。 （3）不一定成立。

如图，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；

否则，AB≠AC。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】（1）先利用斜边直角边定理证明△OEC和△OFB全等，根据全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，再根据等角对等边的性质即可得到AB=AC。

（2）过O作OE⊥AB，OF⊥AC，与（1）的证明思路基本相同。

（3）当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC。 16. （2009安徽省12分）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B

＝α，且

DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．

17. （2009安徽省8分）若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分。（参考数据：3 ≈1.7）

【答案】解：如图，过点B作BC垂直于河岸，垂足为C。

在Rt△ACB中，BC=900，∠BAC=60°，

BC900??6003。

sin?BACsin60?6003∴t??22?3.4（分）。

5?60∴AB?∴船从A处到B处约需3.4分。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】要求出AB的长，可过B作河对岸的垂线，在构建的直角三角形中，根据河岸的宽度即AB与河岸的夹角，通过解直角三角形求出AB的长，进而根据时间=路程÷速度得出结果。

18. （2009安徽省14分）如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1。

（1）若c=a1，求证：a=kc；

（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；

（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由。

【答案】解：（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），

∴

a?k，a=ka1。 a1又∵c=a1，∴a=kc。

（2）取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2，

此时

abc?==2，∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1。 a1b1c1（3）不存在这样的△ABC和△A1B1C1。理由如下：

若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1。

又∵b=a1，c=b1，∴a=2a1=2b=4b1=4c。∴b=2c。 ∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，而b+c＜a。 故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2。

【考点】相似三角形的性质，三角形三边关系。

【分析】（1）已知了两个三角形的相似比为k，则对应边a=ka1，将所给的条件等量代换即可得到所求的结论。

（2）此题是开放题，可先选取△ABC的三边长，然后以c的长作为a1的值，再根据相似比得到△A1B1C1的另外两边的长，只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可。

（3）根据已知条件求出a、b与c的关系，然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立。

19. （2011安徽省10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地

面1500m高度C

处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长