安徽省2001-2019年中考数学试题分类解析专题9：三角形

【分析】①当∠BAD=∠ACD时，得不到AB=AC。

②当∠BAD=∠CAD时，AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高， ∴△BAC是等腰三角形（等腰三角形三线合一）。 ③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，

使CF=AC，连接AE、AF。

∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF。 又AD⊥BC；∴△AEF是等腰三角形。 ∴∠E=∠F。

∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E。 同理，得∠ACB=2∠F

∴∠ABC=∠ACB。∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形。 ④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：AB﹣BD=AC﹣CD， 即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）。 ∵AB﹣BD=AC﹣CD，∴AB+BD=AC+CD。

∴两式相加得，2AB=2AC， ∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形。 故能推出△ABC是等腰三角形的是②③④。

三、解答题

1. （2001安徽省8分）如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0.5米，车厢底部距离地面1.2米．卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°，问此时车厢的最高点A距离地面多少米？（精确到1m）

【答案】解：过点D作DF⊥CE，垂足为F，

∵CD=AB=3米，∠DCE=60°， ∴DF= CD sin∠DCE =3×2

2

2

2

3≈2.6（米）。 2∵车厢底部距地面1.2米，

∴车厢的点D处与地面的距离=2.6+1.2≈4米。 答：车厢的点D处距离地面约4米。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】过点D作DF⊥CE，垂足为F，根据三角函数求得DF的长，再加上车厢与地面的距

离就是点D与地面的距离。

2. （2002安徽省8分）如图，AD是直角△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F． 求证：

AFBE． ?ADBD

【答案】证明：∵BA⊥AC，AD⊥BC，∴∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°。∴∠B＝∠DAC。 又∵ED⊥DF，∴∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°。 ∴∠BDE＝∠ADF。△BDE∽△ADF。

∴

BDBEAFBE，即。 ??ADAFADBD【考点】直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质。 【分析】欲证角形相似。

AFBE ，只要证明△AFD∽△BED即可，借助两组对应角相等即可得两三?ADBD

4. （2003安徽省14分）如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把这与正三角形的接近程度称为“正度”。在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。

设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β。要求“正度”的值是非负数。

同学甲认为：可用式子|a－b|来表示“正度”，|a－b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；

同学乙认为：可用式子|α－β|来表示“正度”，|α－β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。

探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？

（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）； （3）请再给出一种衡量“正度”的表达式。 【答案】解：（1）同学乙的方案较为合理。理由如下：

∵|α－β|的值越小，α与β越接近60°，

∴该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相

等。

同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等。

如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形相似，但|2－4|=2≠|4

－8|=4。

（2）对同学甲的方案可改为用

a?bka， a?bkb（k为正数）等来表示“正度”。

122（3）还可用??60?， ??60?， ????120?， ????60???2???60???等

3??来表示“正度”。

【考点】新定义，开放型，相似三角形的应用。

【分析】将甲乙两同学的推测进行推理，若代入特殊值不成立，则推理不成立。

5. （2004安徽省9分）如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠c=30°．求AD、CD的长．

【答案】解：如图所示，过B点分别作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F。

由AD⊥CD知四边形BEDF为矩形。则ED=BF，FD=BE。 在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠A=30°，AB=10， ∴BE=

1AB=5，AE=3BE=53。 21BC=10，CF=3BF=103。 2在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∠C=30°，BC=20， ∴BF=

∴AD=AE＋ED=53＋10， CD=CF＋FD=103＋5。

【考点】含30°的直角三角形的性质，矩形的性质。

【分析】的性质过点B作两边的垂线，可得两个30°的直角三角形和一个矩形。。根据30°的直角三角形的性质和矩形的性质即可求解。

6. （2004安徽省9分）如图，已知△ABC、△DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上．请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．

【答案】解：△ECH，△GFH，△GAD均与△DBE相似，任选一对即可。

如选△GAD证明如下：

∵△ABC与△EFD均为等边三角形，∴∠A=∠B=60°。

又∵∠BDG=∠A＋∠AGD，即∠BDE＋60°=∠AGD＋60°，∴∠BDE=∠AGD。 ∴△DBE∽△GAD。

【考点】开放型，等边三角形的性质，相似三角形的判定。

【分析】根据已知及相似三角形的判定方法即可找到存在的相似三角形。

7. （2005安徽省大纲10分）如图的花环状图案中，ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六边形． （1）求证：∠1=∠2；

（2）找出一对全等的三角形并给予证明．

【答案】解：（1）证明：∵多边形ABCDEF与A1B1C1D1E1F1都是正六边形，

∴∠1+∠A1AF=120°，∠2+A1AF=∠B1A1F1=120°。 ∴∠1+A1AF=∠2+∠A1AF，即∠1=∠2。 （2）△ABB1≌△FAA1。证明如下：