高中数学 第一章 推理与证明全套教案 北师大版选修2-2

二、学生活动

1、曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。

2、由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？

3、在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。 三、建构数学

1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。

2.一般地,给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率

f(x2)?f(x1)x2?x1。

3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。4。平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。 四、数学运用

例1、 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

变：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

小结：仅考虑一个变量的变化是不形的。

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容甲中水的体积V(t)?5?2?0.1t （单位：cm3）， 计算第一个10s内V的平均变化率。 注：

V(10)?V(0)10?0器

例3、已知函数f(x)?x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]； （2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]。 五、课堂练习

1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。 W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 3

6

9 12

T(月)

2、已知函数f（x）=2x+1，g（x）=—2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f（x）及g（x）的平均变化率。

（发现：y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？） 六、回顾反思 1、平均变化率

一般的，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率

f(x2)?f(x1)x2?x1。

２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．

课题：瞬时变化率—导数

教学目标：

(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念

(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度

(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想

一、复习引入

1、什么叫做平均变化率；

2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[xA，xB]上的平均变化率

3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P沿曲线向点Q运动，随着点P无限逼近点Q时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q处的切线的斜率。

所以我们可以用Q点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q处的变化趋势 二、新课讲解

1、曲线上一点处的切线斜率

不妨设P(x1，f(x1))，Q(x0，f(x0))，则割线PQ的斜率为kPQ?f(x1)?f(x0)x1?x0，

设x1－x0=△x，则x1 =△x＋x0， ∴kPQ?f(x0??x)?f(x0)?x

当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，kPQ?f(x0??x)?f(x0)?x无限趋近点Q处切线斜率。

2、曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法： k?f(x0??x)?f(x0)?x，当△x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0))处切线的斜率。

3、瞬时速度与瞬时加速度

(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2)位移的平均变化率：

s(t0??t)?s(t0)?t

(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，

速度

求瞬时速度的步骤：

s(t0??t)?s(t0)?t无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬时

1.先求时间改变量?t和位置改变量?s?s(t0??t)?s(t0)

2.再求平均速度v??s?t

?s?t3.后求瞬时速度：当?t无限趋近于0，无限趋近于常数v为瞬时速度

(4)速度的平均变化率：

v(t0??t)?v(t0)?t

(5)瞬时加速度：当?t无限趋近于0 时，

v(t0??t)?v(t0)?t无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时

的瞬时加速度 注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 三、数学应用

例1、已知f(x)=x，求曲线在x=2处的切线的斜率。 变式:1.求f(x)?1x22

过点(1,1)的切线方程

2.曲线y=x3在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为_________ 3.已知曲线f(x)?3x上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在?

?t例2.一直线运动的物体，从时间t到t??t时，物体的位移为?s，那么?s为（ ） Ａ．从时间t到t??t时，物体的平均速度； Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为?t时物体的速度； Ｄ．从时间t到t??t时物体的平均速度

例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=

12gt

2(1)求t=t0s时的瞬时速度 (2)求t=3s时的瞬时速度 (3)求t=3s时的瞬时加速度 教后反思：

求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景

课题：导数的概念

一． 教学目标

1、 知识与技能：

通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、 过程与方法： ① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力 ② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法

3、 情感、态度与价值观：

通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 二、 重点、难点

? 重点：导数概念的形成，导数内涵的理解

? 难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵 通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点 四、 教学设想（具体如下表）

教学环节 创设情景 、 引入新课 ＋10.计算运动员在0?t?教学内容 师生互动 设计思路 幻灯片 首先回顾上节课留下的引起学生的好奇，意识到平思考题： 均速度只能粗略地描述物在学生相互讨论，交流体在某段时间内的运动状在高台跳水运动中，运动员相对水面的高结果的基础上，提出 ：态，为了能更精确地刻画物度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：大家得到运动员在这段体运动，我们有必要研究某2＋6.5t时间内的平均速度为个时刻的速度即瞬时速度。 s）存在函数关系h（t）=－4.9t ? 回顾上节课留下的思考题： 这段时间员在这段时间内并没有使学生带着问题走进课堂，49“静止”。为什么会产生激发学生求知欲 里的平均速度，并思考下面的问题： 这样的情况 （1）运动员在这段时间里是静止的吗？ 呢？ （2）你认为用平均速度描述运动员的运 动状态有什么问题吗？ 根据学生的认知水平,概念的形成分了两提出问题一，组织学生 个层次： 讨论，引导他们自然地 ? 结合跳水问题，明确瞬时速度的定义 想到选取一个具体时刻理解导数的内涵是本节课的教学重难点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受来突出重点、突破难点 65“0”，但我们知道运动 初 步 探 索 、 展 示 内 涵 问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时如t=2，研究它附近的速度，如t=2时刻的瞬时速度？ 平均速度变化情况来寻 问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算v?值？ Δt -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 ???. 找到问题的思路，使抽象问题具体化 h(2??t)?h(2)?t的 学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算 帮助学生体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学v Δt 0.1 0.01 0.001 0.0001 v ?. 器，分组完成问题二， 生的动手操作能力 0.00001 ??. ?