考研数学历年真题(1987-2012)年数学一 - 可直接打印（纯试题）

（16）（本题满分10分） 求f?x,y??xe?x2?y22的极值。

（17）（本题满分10分） ?求幂级数

?4n2?4n?3n?02n?1x2n

的收敛域及和函数

（18）（本题满分10分） 已知曲线L:??x?f(t)??y?cost??0?t???2??，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)?0，f(t)?0???0?t???2??。若曲

线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。

（19）（本题满分10分）

已知L是第一象限中从点?0,0?沿圆周x2?y2?2x到点?2,0?，再沿圆周x2?y2?4到点?0,2?的曲线段，计算

曲线积分J=?3x2ydx??x2?x?2y?dy。

L

（20）（本题满分10分）

??1a00??1?设A??01a0?????001a?，b???1???

?a001???0??0??（Ⅰ）求A

（Ⅱ）已知线性方程组Ax?b有无穷多解，求a，并求Ax?b的通解。

?（21）（本题满分10分）三阶矩阵A??101??011??，AT为矩阵A的转置，已知r(ATA)?2，且二次型

???10a??f?xTATAx。

1）求a

2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。

（22）（本题满分10分）

已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示， X P Y P XY P 0 7/12 1 1/3 2 0 4 1/12 0 1/3 1 1/3 2 1/3 0 1/2 1 1/3 2 1/6

求：（1）P?X?2Y?； （2）cov?X?Y,Y?与?XY.

（23）（本题满分11分）

22设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N?,?与N?,2?，其中?是未知参数且??0,设

????Z?X?Y,

2(1) 求z的概率密度fz,?；

??(2) 设z1,z2,2zn为来自总体Z的简单随机样本，求?2的最大似然估计量?；

22(3) 证明?为?的无偏估计量。