考研数学历年真题(1987-2012)年数学一 - 可直接打印（纯试题）

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数,z?f?x,xy?,则?2z?x?y? .

(10)若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??Cx1?C2x?e,则非齐次方程

y???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为y? .

(11)已知曲线L:y?x2?0?x?2?,则?Lxds? .

(12)设????x,y,z?x2?y2?z2?1?,则???z2dxdydz? . ?(13)若3维列向量α,β满足αTβ?2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为 . (14)设X1,X2,,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本,X和S2分别为样本均值和样本方差.若

X?kS2为np2的无偏估计量,则k? .

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分9分)

求二元函数f(x,y)?x2?2?y2??ylny的极值.

(16)(本题满分9分) 设ann为曲线y?x与y?xn?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积,记S1????an,S2??a2n?1,求S1与S2的值.

n?1n?1

(17)(本题满分11分)

椭球面Sx2y21是椭圆43x轴旋转而成,圆锥面Sx2y2??1绕2是过点?4,0?且与椭圆4?3?1相切的直线绕x轴旋转而成.

(1)求S1及S2的方程.

(2)求S1与S2之间的立体体积.

(18)(本题满分11分)

(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在(a,b)可导,则存在

???a,b?,使得

f?b??f?a???f????b??. a(2)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?????0?内可导,且xlim?0?f??x??A,则f???0?存在,且f???0??A.

(19)(本题满分10分) 计算曲面积分I?xdydz?ydzdx?zdxdy????3,其中

?是曲面2x2?2y2?z2?4的外侧.

x2?y2?z2?2

(20)(本题满分11分) (23)(本题满分11 分)

?1?1?1???1?????1?,ξ1??1? 设A???11??2??0?4?2?????(1)求满足Aξ2?ξ1的ξ2.A2ξ3?ξ1的所有向量ξ2,ξ3. (2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3证明ξ1,ξ2,ξ3无关.

(21)(本题满分11分)

设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3.

222??2xe??x,x?0设总体X的概率密度为f(x)??,其中参数?(??0)未知,X1,X2,…Xn是来自总体X的简单

?0,其他随机样本.

(1)求参数?的矩估计量.

(2)求参数?的最大似然估计量.

(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;

22(2)若二次型f的规范形为y1,求a的值. ?y2

(22)(本题满分11分)

袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.

(1)求pX?1Z?0.

(2)求二维随机变量?X,Y?概率分布.

??2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

?x2x(1)极限limx?????(x?a)(x?b)??= (A)1

(B)e

(C)ea?b (D)eb?a

(2)设函数z?z(x,y)由方程F(y,z)?0确定,其中F为可微函数,且F?z?xx2??0,则x?x?yz?y= (A)x

(B)z

(C)?x

(D)?z

(3)设m,n为正整数,则反常积分?1mln2(1?x)0nxdx的收敛性

(A)仅与m取值有关

(B)仅与n取值有关

(C)与m,n取值都有关

(D)与m,n取值都无关

nn(4)limnx????i?1j?1(n?i)(n2?j2)= (A)

?1dx?x1100(1?x)(1?y2)dy (B)

?1dxx0?0(1?x)(1?y)dy

(C)?11110dx?0(1?x)(1?y)dy (D)

?110dx?0(1?x)(1?y2)dy

(5)设A为m?n型矩阵,B为n?m型矩阵,若AB?E,则 (A)秩(A)?m,秩(B)?m (B)秩(A)?m,秩(B)?n

(C)秩(A)?n,秩(B)?m

(D)秩(A)?n,秩(B)?n

(6)设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为3,则A相似于

??1???1?(A)?1???1?

(B)?1????

?0????1? ?0????1????1?(C)??1???(D)??1???1?

???0????1??0??0 x?0(7)设随机变量X的分布函数F(x)? 12 0?x?1,则P{X?1}=

1?e?x x?2(A)0

(B)1

(C)

12?e?1

(D)1?e?1

(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度,

f(x)?

af1(x)bf(x) x?0x?0 (a?0,b?0) 2为概率密度,则a,b应满足

(A)2a?3b?4 (B)3a?2b?4

(C)a?b?1 (D)a?b?2

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)设x?e?t,y??tln(1?u2d2y0)du,求dx2= . t?0(10)

??20xcosxdy= . (11)已知曲线L的方程为y?1?x{x?[?1,1]},起点是(?1,0),终点是(1,0), 则曲线积分

?Lxydx?x2dy= .

(12)设??{(x,y,z)|x2?y2?z?1},则?的形心的竖坐标z= . (13)设αT1?(1,2,?1,0),αT2?(1,1,0,2),α3?(2,1,1,?)T,若由α1,α2,α3形成的向量空间的维数是2,则

?= . (14)设随机变量X概率分布为P{X?k}?Ck!(k?0,1,2,),则EX2= .

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

求微分方程y???3y??2y?2xex的通解.

(16)(本题满分10分) 求函数f(x)??x2?t21(x?t)edt的单调区间与极值.

(17)(本题满分10分) (1)比较

?1n10lnt[ln(1?t)]dt与?0tnlntdt(n?1,2,)的大小,说明理由.

(2)记unn??10lnt[ln(1?t)]dt(n?1,2,),求极限limx??un.

(18)(本题满分10分)

?(?1)n?1求幂级数?x2n的收敛域及和函数n?12n?1.

(19)(本题满分10分)

设P为椭球面S:x2?y2?z2?yz?1上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求P点的轨迹C,并计算I???(x?3)y?2z?4?y2?z2?4yzdS,其中?是椭球面S位于曲线C上方的部分.

(20)(本题满分11分)

?设A???11??0??10??a??,b???1??,已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解.

??11?????1??(1)求?,a.

(2)求方程组Ax?b的通解.

(21)(本题满分11分)

设二次型f(x?xTAx在正交变换x?Qy下的标准形为y2221,x2,x3)1?y2,且Q的第三列为(2,0,22)T.(1)求A.

(2)证明A?E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.

曲面积分