考研数学历年真题(1987-2012)年数学一 - 可直接打印（纯试题）

(22)(本题满分9分)

?1?2,?1?x?0??12随机变量x的概率密度为fx?x???,0?x?2令y?x,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数.

?4?0,其它??(1)求Y的概率密度fY?y?. (2)F???1?,4?. ?2?

(23)(本题满分9分)

?0?x?1设总体X的概率密度为F(X,0)? 1?? 1?x?2,其中?是未知参数(0???1),X1,X2...,Xn为来自总

0其它体X的简单随机样本,记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数,求?的最大似然估计.

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)

(1)当x?0?时,与x等价的无穷小量是 (A)1?ex

(B)ln1?x1?x

(C)1?x?1

(D)1?cosx (2)曲线y?1x?ln(1?ex),渐近线的条数为

(A)0 (B)1 (C)2

(D)3

(3)如图,连续函数y?f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是直径为

1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)??x)dt

0f(t.则下列结论正确的是

(A)F(3)??34F(?2) (B)F(3)?54F(2) (C)F(3)?34F(2)

(D)F(3)??54F(?2)

(4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是

(A)若limf(x)x?0x存在,则f(0)?0

(B)若limf(x)?f(?x)x?0x 存在,则f(0)?0

(C)若limf(x)x?0x 存在,则f?(0)?0

(D)若limf(x)?f(?x)x?0x 存在,则f?(0)?0

(5)设函数f(x)在(0, +?)上具有二阶导数,且f\x)?0, 令un?f(n)?1,2,,n,则下列结论正确的是

(A)若u1?u2,则{un}必收敛

(B)若u1?u2,则{un}必发散

(C)若u1?u2,则{un}必收敛

(D)若u1?u2,则{un}必发散

(6)设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,?为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是

(A)??(x,y)dx

(B)??f(x,y)dy

(C)

??f(x,y)ds

(D)

??f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy

(7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线形相关的是

(A)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (B)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1

(D)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1

?2?1?1?(8)设矩阵A????12?1????,B??100??010??,则A与B

??1?12????000??(A)合同,且相似

(B)合同,但不相似

(C)不合同,但相似

(D)既不合同,也不相似

(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

(A)3p(1?p)2

(B)6p(1?p)2

(C)3p2(1?p)2

(D)6p2(1?p)2

(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在

Y?y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为

(A)fX(x)

(B)fY(y)

(C)fX(x)fY(y) (D)

fX(x)f Y(y)

二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)

?2111x3exdx=_______. (12)设f(u,v)为二元可微函数,z?f(xy,yx),则

?z?x=______. (13)二阶常系数非齐次线性方程y''?4y'?3y?2e2x的通解为y=____________.

(14)设曲面

?:|x|?|y|?|z|?1,则??(x?|y|)ds=_____________.

???0100?(15)设矩阵A??0010????0001?,则A3的秩为________. ?0000??(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于

12的概率为________.

三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(17)(本题满分11分)

求函数 f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)|x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值.

(18)(本题满分10分)

2计算曲面积分I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,其中 ?为曲面z?1?x2?y(0?z?1)的上侧. ?4

(19)(本题满分11分)

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明:存在??(a,b),使得 f??(?)?g??(?).

(20)(本题满分10分) ?设幂级数

?annx 在(??,??)内收敛,其和函数y(x)满足

n?0y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.

(1)证明:a2n?2?n?1an,n?1,2,.

(2)求y(x)的表达式.

(21)(本题满分11分)

设线性方程组

??x1?x2?x3?0?x1?2x2?ax3?0, ??x1?4x2?a2x3?0

与方程

x1?2x2?x3?a?1,

有公共解,求a的值及所有公共解.

(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2.α1?(1,?1,1)T是A的属于特征值?1的一个特征向量,记B?A5?4A3?E,其中E为3阶单位矩阵.

(1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B.

(23)(本题满分11分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?2?x?y,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??0,其他?(1)求P{X?2Y}.

(2)求Z?X?Y的概率密度.

(24)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为

?1?2?,0?x????1f(x;?)??,??x?1

?2(1??)?0,其他??X1,X2,Xn是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值

(1)求参数?的矩估计量??.

(2)判断4X是否为?的无偏估计量,并说明理由.

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