考研数学历年真题(1987-2012)年数学一 - 可直接打印（纯试题）

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ . (2)已知f?(ex)?xe?x,且f(1)?0,则f(x)=__________ . (3)设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分,则曲线积分

?Lxdy?2ydx的值为__________. 2(4)欧拉方程x2dydx2?4xdydx?2y?0(x?0)的通解为__________ .

?10?(5)设矩阵A??2?120?,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵??001?,则

??B=__________ .

(6)设随机变量X服从参数为?的指数分布,则P{X?DX}= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把x?0?时的无穷小量???x2x20costdt,???tantdt,???x00sint3dt,使排在后面的是前一个的高阶

无穷小,则正确的排列次序是

(A)?,?,? (B)?,?,?

(C)?,?,?

(D)?,?,?

(8)设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得 (A)f(x)在(0,?)内单调增加

(B)f(x)在(??,0)内单调减少

(C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0)

(D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)

?(9)设

?an为正项级数,下列结论中正确的是

n?1?(A)若nlim??nan=0,则级数

?an收敛

n?1?(B)若存在非零常数?,使得limn??nan??,则级数

?an发散

n?1?(C)若级数

?a2n收敛,则limn??nan?0

n?1?(D)若级数

?an发散, 则存在非零常数?,使得limn?1n??nan??

(10)设f(x)为连续函数,F(t)??tt1dy?yf(x)dx,则F?(2)等于

(A)2f(2)

(B)f(2) (C)?f(2)

(D) 0

(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ?C的可

逆矩阵Q为

?01?(A)?0??100? (B)?010?

?01??101? ?1?????001???010?(C)???100?

(D)?011??11??0??100? ??001????(12)设A,B为满足AB?O的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关

(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足P{X?u?}??,若

P{X?x}??,则x等于

(A)u?

(B)u21??

2(C)u1??

(D) u1??

2(14)设随机变量X且其方差为?2?0. 令Y?1n1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布,n?Xi,则

i?12(A)Cov(X1,Y)??n

(B)Cov(X1,Y)??2 (C)D(X1?Y)?n?2n?2

(D)D(X1?Y)?n?12n?

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)

设e?a?b?e2,证明ln2b?ln2a?4e2(b?a).

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106). 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)

(17)(本题满分12分) 计算曲面积分I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy,其中?是曲面z?1?x2?y2(z?0)的上侧. ?

(18)(本题满分11分)

设有方程xn?nx?1?0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证明当??1时,级数??x?n收敛.

n?1

(19)(本题满分12分)

设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数,求z?z(x,y)的极值点和极值.

(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组

??(1?a)x1?x2??xn?0,??2x1?(2?a)x2??2xn?0,(n?2),

???nx1?nx2??(n?a)xn?0,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

(21)(本题满分9分)

?12?设矩阵A??3???14?3?的特征方程有一个二重根,求a的值,??并讨论A是否可相似对角化. ?1a5??

(22)(本题满分9分) 设A,B为随机事件,且P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,令 432?1,A发生,?1,B发生, Y?? X??.?0,A不发生;?0,B不发生求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布. (2)X和Y的相关系数?XY.

(23)(本题满分9分)

设总体X的分布函数为

1??1??,x?1,F(x,?)??x

x?1,??0,其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,

求:(1)?的矩估计量. (2)?的最大似然估计量.

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

x2(1)曲线y?2x?1的斜渐近线方程为 _____________.

(2)微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??19的解为____________. x2y2(3)设函数u(x,y,z)?1??6?12?z218,单位向量n?13{1,1,1},则

?u?n(1,2,3)=.________.

(4)设?是由锥面z?x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域,?是?的整个边界的外侧,则

??xdydz?ydzdx?zdxdy?____________.

?(5)设α1,α2,α3均为3维列向量,记矩阵

A?(α1,α2,α3),B?(α1?α2?α3,α1?2α2?4α3,α1?3α2?9α3),

如果A?1,那么B? .

(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数,记为Y, 则P{Y?2}=____________.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数f(x)?limn3nn??1?x,则f(x)在(??,??)内

(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点

(D)至少有三个不可导点

(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,\M?N\表示\M的充分必要条件是N\则必有 (A)F(x)是偶函数?f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数?f(x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数?f(x)是周期函数

(D)F(x)是单调函数?f(x)是单调函数

(9)设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数,? 具有一阶导数,则必有

222(A)

?u?uu?2u?x2???y2

(B)

??x2??y2

2(C)?2u?2u?x?y??y2

(D)?u?x?y??2u?x2

(10)设有三元方程xy?zlny?exz?1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程

(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)

(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)

(11)设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1?α2)线性无关的充分

必要条件是

(A)?1?0 (B)?2?0

(C)?1?0

(D)?2?0

(12)设A为n(n?2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则 (A)交换A*的第1列与第2列得B*

(B)交换A*的第1行与第2行得B*

(C)交换A*的第1列与第2列得?B*

(D)交换A*的第1行与第2行得?B*

(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立,则

(A)a?0.2,b?0.3 (B)a?0.4,b?0.1 (C)a?0.3,b?0.2

(D)a?0.1,b?0.4

(14)设X21,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S为样本方差,则 (A)nX~N(0,1)

(B)nS2~?2(n) (C)

(n?1)XS~t(n?1)

(D)

(n?1)X21F(1,n?1)

?n~X2ii?2