2016-2017学年高中数学 模块综合测评 新人教A版选修2-1

→→

【解析】 由已知，得AC＝kAB，所以(p－1，－2，q＋4)＝k(1，－1，3)，得到p＝3，

q＝2，p＋q＝5.

【答案】 5

12

14．已知命题p：?x0∈R，ax0＋x0＋≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是

2________．

12

【解析】 因为命题p为假命题，所以命题“?x∈R，ax＋x＋>0”为真命题．当a212

＝0时，取x＝－1，则不等式不成立； 当a≠0时，要使不等式恒成立，令ax＋x＋＝0，

2

?????a>0，?a>0，?1?则有?即?所以?1即实数a的取值范围是?，＋∞?.

?2??Δ<0，??Δ＝1－2a<0，??a>，

?2

?1?【答案】 ?，＋∞?

?2?

π2

15．已知抛物线y＝4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB＝，线段2

a>0，

AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则

|MN|

的最大值为______. 【导学号：18490127】 |AB|

2

2

【解析】 如图所示，设|AF|＝a，|BF|＝b，则|AB|＝a＋b，而根据抛物线的定义

a＋b可得|MN|＝

a＋b2

，又a＋b2

≤a2＋b2

2

2|MN|2

，所以＝22≤，当且仅当a＝b时，等号

|AB|2a＋b|MN|2

成立，即的最大值为. |AB|2

【答案】

2

2

16．四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的正弦值为________．

【解析】 如图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，→?22?由已知P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，则重心G?，，0?，因此DP＝

?33?

→→

2?|DP·GP|317→?2→→

(0，0，1)，GP＝?－，－，1?，所以sin θ＝|cos〈DP，GP〉|＝＝. 3?→→17?3

|DP|·|GP|

【答案】

317

17

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．

【解】 ∵A＝{x|x－3x＋2＝0}＝{1，2}， 由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件．∴B当B＝?时，得a＝0；

当B≠?时，由题意得B＝{1}或B＝{2}． 1

则当B＝{1}时，得a＝1；当B＝{2}时，得a＝.

2

?1?

综上所述，实数a组成的集合是?0，1，?.

2??

2

2

A.

→→

18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量CM与PN的夹→→

角为120°，QC·QM＝2.

图2

(1)求圆C的方程；

(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程．

【解】 (1)连结CQ，建立如图坐标系，由题意得△CQM为正三角形．

→→2

∴QC·QM＝r·cos 60°＝2， ∴r＝2，

∴圆C的方程为x＋y＝4.

(2)易知M(2，0)，N(－2，0)，Q(1，3)， 2a＝|QN|＋|QM|＝23＋2.

∴c＝2，a＝3＋1，b＝a－c＝23. ∴椭圆的方程为＋＝1.

4＋2323

19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，

2

2

2

2

2

x2y2

PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.

图3

(1)求证：AM⊥PD；

(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．

【解】 (1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB. ∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD. ∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD.

∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM. ∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD.

(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，M(0，1，1)，

→→→

于是AC＝(1，2，0)，AM＝(0，1，1)，CD＝(－1，0，0)． 设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，

??x＋2y＝0，→→

由n⊥AC，n⊥AM可得?

??y＋z＝0.

令z＝1，得x＝2，y＝－1，于是n＝(2，－1，1)． 设直线CD与平面ACM所成的角为α，

?→CD·n???＝6，cos α＝3. 则sin α＝

?|→?33?CD||n|?

故直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为3. 3

20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．

图4

(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；

6

(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．

7【解】 (1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图(1)．

图(1)

∵AB∥DE，AB＝DE＝3k， ∴四边形ABED为平行四边形，