当前位置：首页 > 2016高三数学复习（人教A版） - 第5章 - 第5讲 - 数列的综合应用教学案及课后作业（含答案）
第5讲 数列的综合应用
典例剖析
考点一__等差数列与等比数列的综合问题______
(2014·高考北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且
{bn－an}为等比数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和．
[规律方法] 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
1．.(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25 ，且a1，a11，a13
成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求a1＋a4＋a7＋?＋a3n－2.
考点二__数列的实际应用问题__________________
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2
年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
（1）求第n年初M的价值an的表达式；
（2）设Sn表示数列{an}的前n项和，求Sn(n≥7)．
[规律方法] 解答数列实际应用问题的步骤：
（1）确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型．基本特征见下表： 数列模型 基本特征 等差数列 均匀增加或者减少 等比数列 指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题 指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为简单递推20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，数列 即数列{an}满足an＋1＝1.2an－a （2）准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确；
（3）给出问题的答案：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．
2．现有流量均为300 m3s的两条河A，B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2 kgm3和0.2 kgm3，假设从汇合处开始，沿岸设有若干观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1 s内交换100 m3的水量，即从A股流入B股100 m3水，经混合后，又从B股流入A股100 m3水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01 kgm3(不考虑沙沉淀)．
考点三__数列与不等式的综合问题(高频考点)__
数列与不等式的综合问题是每年高考的难点，多为解答题，难度偏大． 高考对数列与不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度：
（1）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； （2）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．
－
等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n1，n?N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan－2对一切n?N*恒成立，求实数k的取值范围．
[规律方法] 数列与不等式的综合问题的解题策略
（1）数列与不等式的恒成立问题．此类问题常构造函数，通过函数的单调性、最值等解决问题；
（2）与数列有关的不等式证明问题．解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．
1
3．（1）(2015·陕西商洛模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝. 2
*
①当n ?N时，求f(n)的表达式； ②设an＝n·f(n)，n?N *，求证：a1＋a2＋a3＋?＋an<2；
2?
＋1an(n?N*)． （2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2－??n?
?an?
①求证：数列?n?是等比数列；
??
11112
②设数列{2nan}的前n项和为Tn，An＝＋＋＋?＋，试比较An与的大小．
T1T2T3Tnnan
名师讲坛
交汇创新——数列与函数的交汇
(2014·高考四川卷)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n?N*)． （1）若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；
1?an?
（2）若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列?b?的前n项和
ln 2?n?Tn.
[名师点评] 数列与函数的交汇创新主要有以下两类：(1)如本例，已知函数关系转化为数列问题，再利用数列的有关知识求解；(2)已知数列，在求解中利用函数的性质、思想方法解答．
[提醒] 解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决，同时要注意n的范围．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且3an＋1＋2Sn＝3(n为正整数)． （1）求{an}的通项公式；
3
（2）若?n?N*，k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．
2
知能训练
一、选择题 1．(2015·山西省四校联考)设等差数列{an}和等比数列{bn}首项都是1，公差与公比都是2，则ab1＋ab2＋ab3＋ab4＋ab5＝( )
A．54 B．56 C．58 D．57
a??2n，当an为偶数时，
2．已知数列{a}满足：a＝m(m为正整数)，a＋＝?若a＝1，则m所有可能的取
n
1
n1
??3an＋1，当an为奇数时.
6
值为( )
A．{4，5} B．{4，32} C．{4，5，32} D．{5，32}
- 1 -
3．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0
4．在数列{an}中，若a1＝－2，an＋1＝an＋n·2n，则an＝( )
11122
1－n? D.?1－n? A．(n－2)·2n B．1－n C.?4?23?3?2?
11
a1－?＋?a2－?＋?5．(2015·湖南澧县一中等三校联考)在等比数列{an}中，0 1 2 359 A． B． C． D．不存在 234 16．(2014·上海徐汇、金山、松江二模)函数y＝1－?x＋2?2图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是( ) ．．． 313A． B． C． D．3 223 17． (2013·河北教学质量监测)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝ an1 (n?N*)．若bn＋1＝(n－λ)(＋ anan＋2 1 an－?≤0成立的最大正整数n是( ) ＋?a?? n A．5 B．6 C．7 D．8 6．公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝( ) A．－20 B．0 C．7 D.40 7．数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n?N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn＞1 025的最小n值是( ) A．9 B.10 C．11 D.12 8．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋?＋f(2n)等于( ) A．n(2n＋3) B．n(n＋4) C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4) 9．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( ) A．130 B．325 C．676 D．1 300 10．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a＞0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三1 项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于( ) anan＋1 910812A． B． C． D． 11111111 12．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an、an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( ) A．24 B．32 C．48 D．64 13．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S29＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2015，a2015)，→→ 则OP·OQ＝( ) A．2015 B．－2015 C．0 D．1 14．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和是100，那么a6·a15的最大值是( ) A．25 B．50 C．100 D．不存在 15．(2014·河北衡水一模)已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，14 则＋的最小值为( ) mn 1)(n?N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( ) A．λ>2 B．λ>3 C．λ<2 D．λ<3 1 18．(2014·湖北十大名校联考)已知an＝()n，把数列{an}的各项排列成如下的三角形形状， 3 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ?? 记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(10,12)＝( ) 1111A．()93 B．()92 C．()94 D．()112 3333 5 19．已知数列{an}的各项均为正数，如图给出程序框图，当k＝5时，输出的S＝，则数列{an}的通项公 11式为( ) A．an＝2n B．an＝2n－1 C．an＝2n＋1 D．an＝2n－3 20．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列??1?* ?(n∈N)的前n项和是( ) ?f(n)?- 2 - A． n＋2n＋11n B． C． D． nn＋1n＋1n＋1 21．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是( ) A．(2,4) 141 －，－? C．?－，－1? B．?3??3?2? D．(－1，－1) n，n为奇数时，?? 10．(2013·广东佛山一模)我们可以利用数列{an}的递推公式an＝?n(n?N*)，求出这个数列 ??a2，n为偶数时各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a24＋a25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项． 22．已知函数f(x)?x2?bx的图象在点A(1,f(1)))处的切线的斜率为3，数列?则S2010的值为( ) 2 007 A． 2 008 二、填空题 2 0082 009B． C． 2 0092 010 2 010 D． 2 011 ?1??的前n项和为Sn，?f(n)?11．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将 树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个 最小值为 米 三、解答题 1．(2014·北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和． 2．(2014·山东卷)在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项． （1）求数列{an}的通项公式； n?n＋1?（2）设bn＝a，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－?＋(－1)nbn，求Tn. 2 3．(2014·湖北卷)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． x4．(2014·青岛模拟)已知函数f(x)＝，若数列{an}(n?N*)满足：a1＝1，an＋1＝f(an)． x＋11 （1）证明数列{}为等差数列，并求数列{an}的通项公式． an2n （2）设数列{cn}满足：cn＝，求数列{cn}的前n项的和Sn. an 5．(2014·高考浙江卷)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3?·an＝(2)bn(n?N*)．若{an}为等比数列，且a1 ＝2，b3＝6＋b2. （1）求an与bn； 11 （2）设cn＝－(n?N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn. anbn ①求Sn； ②求正整数k，使得对任意n?N*，均有Sk≥Sn. 1．(2013·高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n?N*)等于________． 2．在等比数列{an}中，若an>0，且a1·a2·?·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________． S2n3．设Sn是数列{an}的前n项和，若(n?N*)是非零常数，则称数列{an}为“和等比数列”．若数列{2bn} Sn 是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{bn}__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”． 4．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若S4≥4，S7≤28，则a10的最大值为__________． 5．已知数列{an}的通项公式为an＝2 * 5－n ?bn，an≤bn，? ，数列{bn}的通项公式为bn＝n＋k，设cn＝?若在 ??an，an＞bn， 数列{cn}中，c5≤cn对任意n?N恒成立，则实数k的取值范围是__________． 6．定义函数f(x)＝{x·{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}＝2，{－2.3}＝－2.当x∈(0，111 n](n?N*)时，函数f(x)的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则＋＋?＋＝________. a1a2an 7．(2014·河南适应性考试)已知对于任意的自然数n，抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1与x轴相交于An，Bn两点，则|A1B1|＋|A2B2|＋?＋|A2014B2014|＝________. 8．已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b2,2a4＝b3，且存在常数α、β，使得an＝logαbn＋β对每一个正整数n都成立，则αβ＝________. 9．已知数列{an}的通项公式为an＝2n(n?N*)，把数列{an}的各项排列成如图所示的三角形数阵： 2 22 23 24 25 26 27 28 29 210 ?? 记M(s，t)表示该数阵中第s行的第t个数，则M(11,2)对应的数是________(用2n的形式表示，n?N)． - 3 - 6．(2015·湖南耒阳二中第一次月考)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，北京市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型每年比上一年多投入a辆． （1）求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)； （2）若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值． 1 1，?是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列7．已知点??3?{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1(n≥2，n?N)． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； ?1?1 000 （2）若数列?bb?的前n项和为Tn.问Tn>的最小正整数n是多少？ 2 015?nn＋1? 8．已知函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n?N*)在函数y＝f(x)的图象上． （1）求数列{an}的通项公式； b1b2b3bn（2）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＋2＋3＋?＋n(n?N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 2222 9．在等差数列{an}中， 设Sn为它的前n项和，若S15>0，S16<0，且点A(3，a3)与B(5，a5)都在斜率为－2的直线l上， （1）求a1的取值范围； S1S2S15（2）指出，，?，中哪个值最大，并说明理由． a1a2a15 211 10． (2014·成都七中模拟)设函数f(x)＝＋(x>0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f()，n?N*，且n≥2. 3xan－1（1）求数列{an}的通项公式； （2）对n ?N*，设Sn＝ 11113t ＋＋＋?＋，若Sn≥恒成立，求实数t的取值范围． a1a2a2a3a3a44nanan＋1 * 最小数，110 第5讲 数列的综合应用参考答案 考点一__ a4－a112－3 [解] (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3， 33所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，?)． 设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得 b4－a420－12 q3＝＝＝8，解得q＝2. b1－a14－3 所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，?)． (2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，?)． n 1－23 数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为＝2n－1. 21－2 3 所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1. 2 1.解：(1)设{an}的公差为d，由题意得a211＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27. (2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋?＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31， 故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列． nn 从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n. 22 考点二__数列的实际应用问题__________________ [解] (1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n； 3 当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，为公比的等比数列． 4 3?n－6?又a6＝70，所以an＝70×?4?. 12 11．设数列{bn}满足：b1＝，bn＋1＝bn＋bn. 2 111 （1）求证：＝－； bn＋1bnbn＋1 111 （2）若Tn＝＋＋…＋，对任意的正整数n,3Tn－log2m－5>0恒成立．求m的取值范围 b1＋1b2＋1bn＋1 12．已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，且过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝2knan，求数列{bn}的前n项和Tn； （3）设Q＝{x|x＝kn，n∈N*}，R＝{x|x＝2an，n∈N*}，等差数列{cn}的任一项cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的 - 4 - ?130－10n，n≤6， ? 因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝? 3?n－6 ???70×?4?，n≥7. (2)由等差及等比数列的求和公式得 当n≥7时，由于S6＝570， n－6n－6333????故Sn＝S6＋(a7＋a8＋?＋an)＝570＋70××4×?1－???＝780－210×?4?. 4??4?? 则 2.解：设第n个观测点处A股水流含沙量为an kgm3，B股水流含沙量为bn kgm3，搜索更多关于： 2016高三数学复习（人教A版） - 第5章 - 第5讲 - 的文档
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