高一 必修一基本初等函数知识点总结归纳

高一必修一函数知识点（12.1）

〖1.1〗指数函数

（1）根式的概念 ①na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

?0．

n②当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a③根式的性质：(nna)?a；当n为奇数时，a?a；当n为偶数时， nn?a (a?0)． a?|a|???a (a?0) ?n（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：amn?nam(a?0,m,n?N?,且n?1)．0的正分数指数幂等于0．

? mn②正数的负分数指数幂的意义是：a1m1?()n?n()m(a?0,m,n?N?,且n?1)．0

aa的负分数指数幂没有意

义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①ar?as?ar?s(a?0,r,s?R) ②(ar)s?ars(a?0,r,s?R) ③(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?R)

指数函数 函数（4）指数函数

函数名称 定义 y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数 0?a?1 y?axa?1 y图象 y (0,1)?axyy?1 y?1 (0,1) O 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 xR （0,+∞） Ox图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1． 非奇非偶 在R上是增函数 在R上是减函数 y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0) y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0) a变化对 图象的影 响 例：比较

在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y轴； 在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y轴； 在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x轴． 在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x轴． 1 12.1高一函数知识点

〖1.2〗对数函数

（1）对数的定义

①若ax?N(a?0,且a?1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x?logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．

②对数式与指数式的互化：x?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0)．

（2）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10（3）几个重要的对数恒等式: loga1?0，loga（4）对数的运算性质 如果aN；自然对数：lnN，即loge． N（其中e?2.71828…）

a?1，logaab?b．

?0,a?1,M?0,N?0，那么

①加法：logaM?logaN?loga(MN) ②减法：logaM?logaN?logaMN

③数乘：

nlogaM?logaM(n?R) ④annlogaN?N

logbNn(b?0,且b?1) ⑤logabM?logaM(b?0,n?R) ⑥换底公式：logaN?logbab（5）对数函数

函数名称 定义 函数对数函数 y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 0?a?1 yx?1 y ?logax a?1 yx?1 y?logax图象 (1,0) O(1,0)xO x定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在(0,??)上是增函数 (0,??) R 图象过定点(1,0)，即当x?1时，y?0． 非奇非偶 在(0,??)上是减函数 2 12.1高一函数知识点

logax?0(x?1)函数值的 变化情况 logax?0(x?1) logax?0(x?1)logax?0(0?x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) a变化对 图象的影响 (6) 反函数的求法

在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x轴 在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x轴 在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴 在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xy?f(x)中反解出x?f?1(y)；

?f?1(y)改写成y?f?1(x)，并注明反函数的定义域．

（7）反函数的性质

①原函数

y?f(x)与反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称． y?f(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y?f?1(x)的图象上． ②函数

即，若P(a,b)在原函数y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数

y?f?1(x)的值域、定义域．

〖1.3〗幂函数

（1）幂函数的图象(需要知道x=错误！未找到引用源。,1,2,3与y=错误！未找到引用源。的图像)

（2）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．

②过定点：图象都通过点(1,1)．

〖1.4〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式： ②顶点式： ③两根式：

（2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求（3）二次函数图象的性质 ①二次函数

f(x)更方便．

f(x)?ax2?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为 ，顶点坐标是 。

f(x)?ax2?bx?c(a?0)中

3

12.1高一函数知识点

②在二次函数

当??b2?4ac?0时，图象与x轴有 个交点．

当 时，图象与x轴有1个交点． 当 时，图象与x轴有没有交点． ③当 时，抛物线开口向上，函数在(??,?f(x)min= ；

当 时，抛物线开口向下，函数在(??,?f(x)max= ． （4）一元二次方程ax2bbb]上递减，在[?,??)上递增，当x??2a2a2abbb]上递增，在[?,??)上递减，当x??2a2a2a时，

时，

?bx?c?0(a?0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两实根为x1,x2，且x1?x2．令f(x)?ax2?bx?c，从以下四个方

??ya?0面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x①k＜x1≤x2 ?

b2a ③判别式：? ④端点函数值符号．

yf(k)?0?x??b2aOkx1x??②x1≤x2＜k ?

kx2b2aOx?x1x2xa?0

f(k)?0

ya?0Oyf(k)?0?x??Ob2ax1x2kxb2akx2?x1a?0

xx??f(k)?0

③x1＜k＜x2 ? af(k)＜0

ya?0y?f(k)?0x2xa?0Ok?x1x2xx1Okf(k)?0

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12.1高一函数知识点