高中数学新题型选编(共70个题)(二)

的对称轴应在直线x?1的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了）

，考虑到该二

2次函数的图像与x轴已有了一个公共点(?1 0)，，故对称轴又应该是y轴或在y轴的右侧（否则该二次函数的值在[0，，即若抛物线与x轴的另一个公共点 1)上的值不能恒为正数）是(a， 0)，则1?a?2，且抛物线开口向下．

54、如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别

输入正整数m,n时，输出结果记为f(m,n)，且计算装置运算原理如下： ① 若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则f(1,1)?1；②若Ⅰ输入固定的正整数， Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1， Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。 试求：

（1）f(m,1)的表达式(m?N)；（2）f(m,n)的表达式(m,n?N)； （3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数n，则输出结果f(n,n)能否为2020？

若能，求出相应的n；若不能，则请说明理由。 解：（1）f?m,1??3f?m?1,1??3f?m?2,1????32m?1f?1,1??3m?1

）

（2

f?m,n??f?m,n?1??3?f?m,n?2??3?2???f?m,1??3?n?1??3m?1?3?n?1?

（3）

f?n,n??3n?1?3?n?1? ，∵f?7,7??36?18?747?2005，

f?8,8??37?21?2208?2005

∴f(n,n)输出结果不可能为2005。

55、对数列?an?，规定??an?为数列?an?的一阶差分数列，其中?an?an?1?an(n?N)。 对自然数k，规定

??a?kn为

?an?的k阶差分数列，其中

?kan??k?1an?1??k?1an??(?k?1an)。

22 （1）已知数列?an?的通项公式an?n?n(n?N),，试判断??an?，?an是否为等差

??或等比数列，为什么？

2n （2）若数列?an?首项a1?1，且满足?an??an?1?an??2(n?N)，求数列?an?的

通项公式。

12n （3）对（2）中数列?an?，是否存在等差数列?bn?，使得b1Cn?b2Cn???bnCn?an对一切自然n?N都成立？若存在，求数列?bn?的通项公式；若不存在，则请说明理由。

解：（1）?an?an?1?an??n?1???n?1??n2?n?2n?2，∴??an?是首项为4，

2??公差为2的等差数列。

2 ?an?2?n?1??2??2n?2??2

2∴?an是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。

n2n （2）?an??an?1?an??2，即?an?1??an??an?1?an??2，即

???an?an?2n，∴an?1?2an?2n

213 ∵a1?1，∴a2?4?2?2，a3?12?3?2，a4?32?4?2，猜想：

an?n?2n?1

证明：ⅰ）当n?1时，a1?1?1?2；

k?1 ⅱ）假设n?k时，ak?k?2

kkk?k?1??1 n?k?1时，ak?1?2ak?2?k?2?2??k?1??2 结论也

0成立

n?1 ∴由ⅰ）、ⅱ）可知，an?n?2

12n12nn?1 （3）b1Cn?b2Cn???bnCn?an，即 b1Cn?b2Cn???bnCn?n?2 123n012n?1n?1 ∵1Cn?2Cn?3Cn???nCn?nCn?1?Cn?1?Cn?1???Cn?1?n?2 12n ∴存在等差数列?bn?，bn?n，使得b1Cn?b2Cn???bnCn?an对一切自然

??n?N都成立。

56、对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f (x)与g (x)，如果对任意x∈[m，n]均有| f (x) – g (x) |≤1，则称f (x)与g (x)在[m，n]上是接近的，否则称f (x)与g (x)在[m，n]上是非接近的，

1(a > 0，a≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]． x?a （1）若f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a的取值范围； 现有两个函数f 1(x) = loga(x – 3a)与f 2 (x) = loga

（2）讨论f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？ 解：（1）要使f 1 (x)与f 2 (x)有意义，则有

?x?3a?0??x?3a ?x?a?0?a?0且a?1?

要使f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义， 等价于真数的最小值大于0 ?1?a?3?a?0?即?a?2?3a?0?0?a?1 ?a?0且a?1?? （2）f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的

?| f 1 (x) – f 2 (x)|≤1

1?loga(x?3a)?loga≤1

x?a?|loga[(x – 3a)(x – a)]|≤1

1 a对于任意x∈[a + 2，a + 3]恒成立

设h(x) = (x – 2a)2 – a2，x∈[a + 2，a + 3]

且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边 ?a≤(x – 2a)2 – a2≤

?a ?a ≤ hmin(x)≤ h(a?2)?? ??1??1 h(a?3) h(x)≥ ?a≥ max??a?4?a ?≤ 4?4a??a ≤

??1??5 ≥ 9?6a??≥ 0?a?6a2?9a?1 4?a ≤ ?5? ??9?579?57?a 或a ≥ ≤ ?1212??0?a ≤

9?57 129?57时 12f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的

当0?a ≤

当 9?57< a < 1时，f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的． 12

57、已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，m∈(－∞，＋∞)，请给出能使命题：“若m＋1＞0，则f(m)＋f(1)＞f(?m)＋f(?1)”成立的一个充分条件： ．

已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，m∈(－∞，＋∞)，请给出能使命题：“若m＋1＞0，则f(m)＋f(1)＞f(?m)＋f(?1)”成立的一个充分条件：_______.

答案： 函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增（或f(x)＝ax＋b（a＞0）等） ．

58、歌德巴赫（Goldbach．C．德．1690—1764）曾研究过“所有形如正整数）的分数之和”问题．为了便于表述，引入记号：

1（m，n为m?1(n?1)1111111＝＋(??????)(??????)＋┅ ??m?1234234222333n?1m?1(n?1)111??????)＋┅ ＋((n?1)2(n?1)3(n?1)4写出你对此问题的研究结论：

*59、集合P＝{1，3，5，7，9，┅，2n－1，┅}(n∈N)，若a∈P，b∈P时，

??1＝1 （用数学符号表示）． ??m?1n?1m?1(n?1)??a b∈P，则运算 可能是（ D ）

（A）加法； （B）除法； （C）减法； （D）乘法．

60、min{s1，s2，┅，sn}，max{s1，s2，┅，sn}分别表示实数s1，s2，┅，sn中的最小者和最大者．

（1）作出函数f(x)＝｜x＋3｜＋2｜x－1｜（x∈R）的图像；

（2）在求函数f(x)＝｜x＋3｜＋2｜x－1｜（x∈R）的最小值时，有如下结论：

f(x)min＝min{f(?3)，f(1)}＝4．请说明此结论成立的理由； （3）仿照（2）中的结论，讨论当a1，a2，┅，an为实数时，

函数f(x)＝a1|x?x1|＋a2|x?x2|＋┅＋an|x?xn|(x∈R，x1＜x2＜┅＜xn∈R)的最值． 解：（1）图略；

（2）当x∈（－∞，－3）时，f(x)是减函数，

当x∈[－3，1）时，f(x)是减函数， 当x∈[1，＋∞）时，f(x)是增函数， ∴f(x)min＝min{f(?3)，f(1)}＝4．

（3）当a1＋a2＋┅＋an＜0时，f(x)max＝max{f(x1)，f(x2)，┅，f(xn)}；

当a1＋a2＋┅＋an＞0时，f(x)min＝min{f(x1)，f(x2)，┅，f(xn)}； 当a1＋a2＋┅＋an＝0时，f(x)min＝min{f(x1)，f(xn)}，

f(x)max＝max{f(x1)，f(xn)}．

61、在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和 。 答案：设两数为x、y，即4x＋9y=60，又

1111(4x?9y)14x9y??(?)(13??) ≥=xyxy6060yx