高中数学新题型选编（共70个题）（二）

高中数学新题型选编（共70个题）（二）

36、有穷数列{an}，Sn为其前n项和，定义Tn?S1?S2?S3???Snn为数列{an}的“凯森和”，

如果有99项的数列a1、a2、a3、…、a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列 1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凯森和”T100= 991 。

37、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：

22 已知a1,a2?R，a1?a2?1，求证a1?a2?12，

22 证明：构造函数f(x)?(x?a1)?(x?a2)

22 f(x)?2x?2(a1?a2)x?a1?a2?2x?2x?a1?a2

2222 因为对一切x?R，恒有f(x)≥0，所以??4?8(a1?a2)≤0,

22 从而得a1?a2?1222，

（1）若a1,a2,?,an?R，a1?a2???an?1，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。 解：（1）若a1,a2,?,an?R，a1?a2???an?1，

222求证：a1?a2???an?1n (4?)

222（2）证明：构造函数f(x)?(x?a1)?(x?a2)???(x?an) (6?)

2222 ?nx?2(a1?a2???an)x?a1?a2???an (9?)

22?nx2?2x?a12?a2???an (11?)

222 因为对一切x?R，都有f(x)≥0，所以△=4?4n(a1?a2???an)≤0, 222 从而证得：a1?a2???an?1n. (14?)

38、已知两个向量a?(1?log2x,log2x)，b?(log2x,t) (x?0). （1）若t=1且a?b，求实数x的值； （2）对t?R写出函数f(x)?a?b具备的性质.

解：（1）由已知得log22x?2log2x?0 ……2分

log2x?0或log2x??2 ……4分

解得x??1，或x??1 ……6分 4（2）f(x)?log22x?(1?t)log2x ……8分 具备的性质： ①偶函数；

?1?t②当log2x??即x??221?t2(1?t)2（1?t)2时，f(x)取得最小值?（写出值域为[?，??)也

44可）；

③单调性：在(0,2(??,?2?1?t2?1?t2]上递减，[2?1?t2,??)上递增；由对称性，在[?2?1?t2,0)上递增，在

]递减 ……14分

说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点（x??1，x??2?(1?t)）等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分

39、对于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn= n .2n–1 。(不必给出证明)

40、若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM

x2y2b2均与坐标轴不平行，则对于椭圆2?2?1有KAM?KBM??2。类似地，对于双

abab2x2y2曲线2?2?1有KAM?KBM= 。a2

ab

41、已知f?x??lgx

（1）g(x)?f(x?6x?4)?f(x), 求g(x)的最小值

（2）P、Q关于点（1，2）对称，若点P在曲线C上移动时，点Q的轨迹是函数f?x??lgx的图象，求曲线C的轨迹方程。

（3）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从

2f?x??lgx可抽象出f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)的性质，试分别写出一个具体的函数，

抽象出下列相应的性质

由h(x)? 可抽象出h(x1?x2)?h(x1)?h(x2) 由?(x)? 可抽象出?(x1?x2)??(x1)??(x2) (1)

x?44g(x)?lgx?6?lg(x?xx?6)?1…………3’

2等号当x=2时成立，?

g(x)min?1…………………………4’

(2)设P(x,y)则Q(2-x,4-y)………………………………………………5’ 由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x)………………………………８’

(3) h(x)=_______y=2x等_______, ９’ φ(x)=____y=lgx等__11’

42、已知函数f(t)?at2?bt?14a(t?R,a?0)的最大值为正实数，集合

x?a?0}，集合B?{x|x2?b2}。 x（1）求A和B；

（2）定义A与B的差集：A?B?{x|x?A且x?B}。

设a，b，x均为整数，且x?A。P(E)为x取自A?B的概率，P(F)为x取自A?B21的概率，写出a与b的二组值，使P(E)?，P(F)?。

33A?{x|（3）若函数f(t)中，a，b 是（2）中a较大的一组，试写出f(t)在区间[n?大值函数g(n)的表达式。

2答案：（1）∵f(t)?at?bt?14a28,n]上的最

(t?R)，配方得f(t)?a(t?b2)2a?b?14，由a?0得最a?b?0?b?1大值14。……………………………………………………………3分 a ∴A?{x|a?x?0}，B?{x|?b?x?b}。…………………………6分 （2）要使P(E)?23，P(F)?1。可以使①A中有3个元素，A?B中有2个元素， A?B3中有1个元素。则a??4,b?2。…………………………………………………9分

②A中有6个元素，A?B中有4个元素， A?B中有2个元素。则

a??7,b?3…………………………………………………………………………12分

（3）由（2）知f(t)??4t2?2t?1(t?[n?2,n])…………………………13分

1681?4n2?2n?16,n??1g(n)? 16,?2828?n?0………………………………………………18分

1?4n2?16,n?0

a,a?b ,例如：1*2=1，3*2=2，则函数43、在数学拓展课上，老师规定了一种运算:a*b=???b,a?bf(x)?sinx?cosx的值域为[?1,22]。

y Bn B1 B2 B3 B4

44、已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N） 顺次为一次函数y?141x?12图象上的点，

点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）

顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1）， 对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以

O A1 1 A2 2 A3 3 A4 4 A5 … An n An+1 x Bn为顶点的等腰三角形。

⑴求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列； ⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；

⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由。

11n?12解：（1）yn?4(n?N),yn+1-yn=4,∴{yn}为等差数列 (4?)

1 （2）xn+1-xn=2为常数 (6?) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…，x2n都是公差为2的等差数

列，

∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a， n?a?1,，当n为奇数 (10?) ∴xn=???n-a，当n为偶数11?12?12 （3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2yBn=2(n)?xn+1-xn=2(n) 44 当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).

111?12?n ?2(1-a)=2(n) ?a=1244(n为奇数，0＜a＜1) (*)

取n=1，得a=3，取n=3，得a=6，若n≥5，则(*)无解； (14?) 当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.

11?12?12 ∴2a=2(n)?a=n(n为偶数，0＜a＜1) (*?)，取n=2，得a=12, 44217 若n≥4，则(*?)无解.

综上可知，存在直角三形，此时a的值为3、

45、⑴证明：当a＞1时，不等式a3?⑵要使上述不等式a3?1a31a3216、12. (18?)

7?a2?a12成立。

?a2?a12成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放

宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。

⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。 解：（1）证：a3?13-a2-12?aa1a3(a-1)(a5-1),∵a＞1，∴a13(a-1)(a5-1)＞0，

∴原不等式成立 (6?)

（2）∵a-1与a5-1同号对任何a＞0且a?1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽 为a＞0且a?1 (9?)

（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a?1，m＞n＞0，则有a? 证：左式-右式=a-a?a1m-a1n?a(amnnm-nm1am?an?a1n(12?)

-1)-a1m(am-n-1)?a1m(am-n-1)(am?n-1)

(14?)

若a＞1，则由m＞n＞0?am-n＞0,am+n＞0?不等式成立；

若0＜a＜1，则由m＞n＞0?0＜am-n＜1, 0＜am+n＜1?不等式成立.(16?)