时间序列分析

残差的分位数-分位数图极值处有明显异常。Shapiro-Wilk正态检验统计量值为W=0.72671，p极小，为10-8量级，因此拒绝原假设，即残差非正态。

qqnorm(residuals(ml.ts));qqline(residuals(ml.ts)) shapiro.test(residuals(ml.ts))

4.参数估计

ml.ts 即模型为：

?2Y??=????+0.3523?????1

5.预测

利用ARIMA(1,2,2)模型对未来10年的数据进行预测，得到2阶差分的未来10年数据。

plot(ml.ts,n.ahead = 10) predict(ml.ts,10)

将预测值与2011年至2015年的实际值进行比较，可知第一年误差仅为千分之2，随时间增长，由于2011年日本刚好人口首次出现负增长并持续至2014年，误差增长较快，但仍不超过百分之一。综合考虑认为模型预测精度还是很高的。

5.1模型更新

将之前预留的最近5年即2011年至2015的数据更新加入模型，并删除序列最前面的5年即1960至1964年的数据，再次进行预测。 重复之前的步骤，得到新的未来10年的预测，

更新后的模型预测值如上图所示。对本月，即2016年5月1日的预测为127081，与日本总务省统计局公布的预测126960相比相差了120（千人），相差约千分之一，比更新前的数据预测的精度更准确。

6．异常值检验

在前面的分析中，序列中含有明显的异常值，为此我们对异常值进行处理。

[,1] [,2]

ind 13.000000 14.000000 lambda2 5.093549 -3.900442 detectAO(ml.ts) [,1] [,2]

ind 13.000000 14.000000 lambda1 6.910984 -3.415474 detectIO(ml.ts)

从上面的AO，IO检验可知，序列在T=13时有一个IO ，即新息异常。T=14，有一个AO，

即可加异常值。

因此拟合一个在t=13时有一个IO，t=14，有一个AO的IMA模型

m3=arima(ts,order = c(0,2,1),xreg =data.frame(AO=seq(ts)==14),io=c(13)) 新模型的AIC明显变好，但模型参数非显著。因此，考虑拟合只在t=13有一个IO的模型

新模型的模型参数显著，AIC明显变好，且与上面的模型相差不多。因此认为在t=13时有一个IO的IMA(2,1)模型更适合原时间序列。

m4=arima(ts,order = c(0,2,1),io=c(13))

7.结论

本文对日本1960年至2010年的总人口数量进行了时间序列分析与预测。经过分析对比确定这一期间的日本人口符合IMA(2，1)模型，模型通过检验。模型预测与实际数据基本吻合，更新至最新数据后依此预测了未来10年的人口数据。对于异常值也进行了分析和重新拟合。

参考文献：

[1]Jonathan D. Cryer&Kung-Sik Chan.Time Series Analysis with Applications in R(Second Edition).机械工业出版社，2011