人教版初二（上）数学第40讲：因式分解方法 - 图文

因式分解方法（1）

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1.理解因式分解的定义；

2. 掌握提取公因式法.公式法.分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式.

1.分解因式

（1）把一个多项式化成几个整式的__________,这种变形叫做把这个多项式分解因式。 （2）因式分解与整式乘法是互逆关系。 注意：因式分解与整式乘法的区别和联系:

①整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式； ②因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。

2.提公共因式法

（1）如果一个多项式的各项含有________,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成

两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如: ab＋ac＝a（b＋c） （2）概念内涵:

①因式分解的最后结果应当是“积”；

②公因式可能是单项式,也可能是多项式；

③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb－mc＝m（a＋b－c） 3.运用公式法

（1）如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运

用公式法。 （2）主要公式：

①平方差公式：____________________ ②完全平方公式: ____________________ (3)易错点：

因式分解要分解到底。如

4.因式分解的思路与解题步骤:

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先______________；

1

就没有分解彻底。

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的； (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解； (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内______________.

1.因式分解的定义 【例1】（2014安徽省中考）下面的多项式中，能因式分解的是( )

A.m2+n B.m2-m+1 C.m2-n D.m2-2m+1

【解析】在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三

项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，分解到每个因式不能再分为止。因此，根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解。

【答案】D

练习1.（2014四川凉山一中月考）下列多项式能分解因式的是【 】

A．

B．

C．

D．

练习2.（2014贵州黔南三中周测）下列多项式中，不能用公式法分解因式的是【 】

A．

B．

C．

D．

2.利用提取公因式的方法分解因式

【例2】多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于（ ）

A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1)

【解析】相反的项要变形，然后找到各项的公共部分，提出即可。 【答案】C 练习3. 练习4.

（ ）

练习5．3ab2＋a2b＝_______. 3.公式法分解因式 【例3】（2014江苏无锡实验中学期中）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（ ）

A． （x﹣1）B． x2 C． （x+1）2 D． （x﹣2）2 （x﹣2）

【解析】把x﹣1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解

即可：

（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣1﹣1）2=（x﹣2）2。 【答案】D

练习6. （2014湖北恩施一中期中）a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（ ）

A．a2b（a2﹣6a+9） B．a2b（a﹣3）（a+3） C．b（a2﹣3）2 D．a2b（a﹣3）2

练习7. 下列分解因式正确的是（ ）

A．3x2－6x＝x(3x－6) B．－a2＋b2＝(b＋a)(b－a) C．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y) D．4x2－2xy＋y2＝(2x－y)2

练习8.（2014内蒙古呼和浩特中考）下列各因式分解正确的是（ ）

2

A．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2（x+2）

D．x2﹣4x=x（x+2） 2 ） C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2（x﹣

4.两两分组分解因式 【例4】

【解析】这个式子有四项考虑分组的方法分解因式，找有公因式的项分一组，所以一三分一组，

二四分一组，再提取公因式就可以了。

【答案】原式=（7x2+xy）-（3y+21x）

=x（7x+y）-3（7x+y） =（x-3）（7x+y）

练习9．对2m+mp+np+2n运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）

A. (2m+2n +np)+mp B. (2m+np) +(2n+mp) C.(2m+2n)+（mp+np） D. (2m+2n +mp)+np

练习10．分解因式：

练习11.多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为（ ）

A.－(x＋a)(x＋b) B.(x－a)(x＋b) C.(x－a)(x－b) D.(x＋a)(x＋b)

5.一三分组分解因式 【例5】

【解析】这是一个四项式，考虑分组分解因式，这个式子有两个平方项，所以考虑一三分组进

行因式分解。

【答案】原式=1-（x2-4xy+4y2）=1-（x-2y）2=（1-x+2y）（1+x-2y） 练习12．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为（ ）

A.(x－6y＋3)(x－6x－3) B.－(x－6y＋3)(x－6y－3) C.－(x－6y＋3)(x＋6y－3) D.－(x－6y＋3)(x－6y＋3) 练习13. 因式分解：9x2－y2－4y－4＝__________. 6.因式分解的综合题

【例6】已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值

【解析】先把原式进行因式分解，式子有四项考虑分解因式，再把a＋b=0代入即可求出结果。 【答案】原式= a3－2b3＋a2b－2ab2

= （a3＋a2b）－（2b3+2ab2） =a2（a+b）-2b2（a+b） =（a+b）（a2-2b2）

把a＋b=0代入，原式=0 练习14. 已知a.b.c为△ABC的三条边的长,当

时，试判断△ABC属于哪一

类三角形；

练习15. （a+b）2-4（a+b-1）

练习16.已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值

．

= . 3

1.

2. xy﹣x= ． 3. （2014海南省中考）

4. （2014陕西省中考）5. 2x2﹣10x= ． 6. 2x2﹣10x= ． 7. x2－36= 8. a2﹣9= ． 9. 2x2－8＝ ． 10. x2﹣9= ． 11. （2014江苏淮安中考）12.分解因式：ax2－ay2 = . 13.分解因式：14.分解因式:15.分解因式

= ． ＝ . . 。 ．

16．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（ ） A．8

B．4

C．±8

D．±4 D．4a2-4a+1

17．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）

A．x2-6x-9

B．a2-16a+32

C．x2-2xy+4y2

18．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________． 19．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）2 20．把下列各式分解因式：

①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2 21．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．

22．你知道数学中的整体思想吗？解题中，?若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考.联想.探究，进行整体思考.整体变形，?从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．

你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？

（x+2y）2-2（x+2y）+1

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1．下列各式属于正确分解因式的是（ ） A．1+4x2=（1+2x）2

B．6a-9-a2=-（a-3）2 D．x2+xy+y2=（x+y）2

4

C．1+4m-4m2=（1-2m）2

2．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（ ） A．（x-y）4

B．（x2-y2）4

C．[（x+y）（x-y）]2

D．（x+y）2（x-y）2

3．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）． 4．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________． 5.分解因式：2x2－4x＋2= 6.分解因式：

= ．

7.分解因式：3a2b+6ab2= ． 8.分解因式：8a2﹣2= ． 9.分解因式：x3﹣x= ． 10.分解因式：a2﹣2a= ． 11.因式分解：m2﹣mn= ． 12.分解因式：x2﹣5x = ． 13.因式分解：x3﹣x= ． 14.分解因式：3m2﹣6mn+3n2= ．

15.已知P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，当x≠0时，3P﹣2Q=7恒成立，则y的值为 ． 16.分解因式：3a2﹣12= ． 17.分解因式：

=

18.（2014四川广元一中期末）分解因式：19.因式分解：

= 20.分解因式：x3-6x2+9x=

21.(1)xy3-2x2y2+x3y (2)（x2+4y2）2-16x2y2 22．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．

课程顾问签字： 教学主管签字：

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