恒定磁场竞赛练习

B?mg NIa说明 磁秤是测量磁感应强度的一种简单有效的方法。

6-8 在一磁感应强度为B的均匀磁场内放入一截面积为S，且共有N匝的短线圈，

短线圈的轴跟B垂直，线圈固定在天平臂的一端，在无电流时天平恰好平衡。当线圈内通以电流I时，为保持天平继续平衡，需在长臂l上加砝码若干？

分析 载流线圈有一磁矩Pm?NIS，若线圈放入均匀磁场B中时会受到磁力矩

M?Pm?B的作用。由图可知，线圈所受磁力矩的方向垂直于纸面朝外，相当于天平左

臂受到一向下的作用力。要使天平保持平衡，右边需加砝码，使之产生等量反向的力矩。

解 通电后线圈的总磁力矩为

M?NSIB

M?lP NSIB?lP

NSIB P?lNSIB。 l设右边所加砝码重量为P，则

所以

说明 若线圈中电流跟图示方向相反，则右边需减去砝码P?6-9 一正方形的平面线圈，它的边长a?10cm，线圈中通过的电流强度I?100A，被自由地安置在磁感应强度B?1T的均匀外磁场中。求在线圈围绕着通过它的相对两边之中点的轴转过角。1）?1?90；2）?2?3的过程中外力分别作的功A。设在线圈转动过程中，线圈中的电流强度保持不变。

分析 根据本题给出的条件，被臵于外磁场中的线圈在初始位臵上是自由的。这时，

??Pm和B的方向完全一致，作用在载流线圈上的力矩等于零(M?0)。如果外力使线圈偏

离平衡位臵，则线圈受力矩M?Pm?B的作用，这力矩将力图使线圈回复到原来的位臵上去。因此，外力将反抗这个力矩而作正功，由动能定理可知，外力所作的功的大小恰好等于在此过程中磁力矩的功。

解 因为在线圈转动过程中，线圈中的电流强度保持不变，所以磁力矩在这一过程中所作功为

?A?I??m

A磁?I(Ba2cos90??Ba2)??IBa2

1）?1?90时

所以外力所作功为

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?A外?IBa2?1(J) A磁?I(Ba2cos3??Ba2) A外??A磁?IBa2(1?cos3?)

1 ?IBa2(0.0525)2

2

2）?2?3

?1.37?10?3(J)

(?2?3??0.0525rad)

说明 此题也可用力矩所作的功A?Md?来计算。

6-10 回旋加速器D形电极圆周的最大半径R?0.6m，用它来加速质子，要把质子从静止加速到4.0MeV的能量。（1）求所需的磁感应强度B；（2）设两D形电极间的距离为1cm，电压为2.0?10V，其间电场是均匀的，求加速到上述能量所需的时间。

分析 此题是关于电荷受电场力和磁场力而运动的问题。

4?mv2mv12解 （1）因为qvB?，所以B?，而Ek?mv，即v?RqR2

2Ek m所以

B? ?2EkqR

2?1.67?10?27?1.6?10?19?4?106?0.48（T） ?191.6?10?0.6（2）质子每旋转一周增加能量为2qu，故为提高到最大能量需要旋转次数为而每旋转一次需要时间T?

Ek，2qu2πm，故需要总时间为 qBEk2πm4?1062π?1.67?10?27?????

2quqB2?2?1041.6?10?19?0.48 ?1.4?10（s）

?5说明 在时间计算上，还有在加速电场中所用时间，但由于它远小于?，所以略去不计。

E1Eqqu????在电场中所走路程S?k?2d,S?at2,a??2qu2mmd??

??d?10所以t?2mE?1.44?10S?????k??qu???3?2

6-11 一块厚a?1?10cm，宽b?1?10m的半导体样品放入B?0.2T的均匀磁

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场内，通以电流I?2mA，测得霍耳电势差uAA???5mV。（1）问这半导体是n型还是p型的；（2）求这半导体的载流子浓度是多少？（3）求这时半导体内载流子的漂移速度。

分析 本题是关于霍尔效应的问题。

解 （1）由uAA???5mV知，A面电势低于A?面电势，所以是P型半导体。

IB2?10?3?0.2?（2）n?

quAA?a1.6?10?19?5?10?3?10?3 ?5?10（/cm3）

14uAA?5?103（3）V???2.5（m/s） ?2Bb0.2?10

说明 霍尔效应不仅可用来测定半导体载流子的浓度，判断半导体的导电类型，还可用于测量磁场，电流强度、功率等量。

6-12 如图（a）所示，半径为R，质量为m的匀质细圆环均匀带电，总电量为Q（Q?0），放在光滑的水平面上。环内、外有垂直环面向上的均匀磁场B。若将圆环以角速度?绕着通过圆心的竖直轴匀速旋转，试求环内因为这种转动而形成的附加张力。

分析 环静止时，带电圆环的每一微元必处于其它电荷的电场之中，由于环上各处带同号电荷，所以这一静电力必为斥力，为了抗衡这一电场力，维持平衡，环内必定已经有张力，但这并非本题所要求。

圆环绕通过圆心的竖直轴在水平面上转动后，所带电量因旋转形成电流，将受到磁场的安培力作用，其方向沿径向向外。因此，为了维持圆形的形状而不散开，就需要附加张力T来抵消安培力。当然，附加张力的一部分还需用作维持环旋转的向心力。

解 如图（b）所示，在圆环上任取一小段dl?Rd?的圆弧为研究对象，因圆环以?旋转，而形成的电流为

I?Qf?QQQ??? 2πT2π?电流元Idl在磁场B中受到的安培力dFm的方向沿径向向外，大小为

dFm?IdlB?Q?R?QBRd?B?d? 2π2πd?d?)?2(T?)?Td? （d?很小） 22设dl两端附加的两个张力T在径向的分量之和为dFT，则有

dFT?2(Tsin由牛顿第二定律知

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dFT?dFm?dm??2R?(Td??md?)?R2 2πR?QB1d??m?2Rd? 2π2π故因环旋转而附加的张力为

T?

R?QB1?m?2R 2π2π说明 本题是有关电学、磁学和力学的综合题，关键是选取合适的研究对象，进行正

确的受力分析，从而根据牛顿定律列出方程。

四、习题

6.1 在半径为R的无限长半圆柱形金属薄片中通有电流I，如图所示，求其轴线上任一点P的磁感应强度BP。

6.2 沿着边长a?0.1m的正方形导线框流动的电流强度I?5A。求与该正方形四个

顶点的距离等于其边长的一点P处的磁感应B。

6.3 如图所示，电流均匀地流过宽为2a的无限长导体薄平板，总电流强度为I。通过板的中心线，且与板面垂直的平面上有一点P，P点到板的垂直距离为x，设板的厚度可略去不计，求P点处的磁感应强度B。

6.4 在玻尔氢原子模型中，电子绕原子核作圆轨道运动，圆轨道半径为5.1?1015?11m，

频率f为6.8?10/s。这个作圆运动的电子在轨道中心处引起的B值有多大？

6.5 将半径为R的无限长导体圆管（厚度忽略）沿轴向割去一宽度为h(h??R)的狭

缝，沿轴向均匀地流有电流，其密度（沿单位周长）为i，则轴线上一点磁感应强度的大小为多少？

6.6 一无限长的铜导线，载有电流I，在导线内部通过其中轴线作一平面S，如图所

示，则通过沿轴线方向单位长度的面积的磁通量为多少？

6.7 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，其上绕有N匝线圈，通有电流I，试求

（1）环内磁感应强度的分布；

（2）通过螺绕环截面（图中阴影区）的磁通量；

6.8 求横截面为圆形的无限长载流直导线的磁场分布。设导线的半径为R，电流I均

匀的通过横截面。

6.9 在一个无限长圆柱导体内，挖一个无限长圆柱形空腔，求空腔内的磁感应强度

B。设空腔和导体的半径分别为a和b，它们的轴互相平行，两轴间的距离为

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