2019年全国中考数学真题精选分类汇编：四边形(填空题)含答案解析

∴∠BFE＝90°，

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FBC＝∠ABD＝45°， ∴BF＝EF，

在△BFG和△EFP中， ∵

，

∴△BFG≌△EFP（SAS）， ∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF， ∵∠ABD＝∠FPG＝45°， ∴AB∥PG， ∵AP⊥PE，

∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°， ∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF， ∴AP∥BG，

∴四边形ABGP是平行四边形， ∴AP＝BG， ∴AP＝PE；

解法二：如图2，连接AE，∵∠ABC＝∠APE＝90°，

∴A、B、E、P四点共圆， ∴∠EAP＝∠PBC＝45°， ∵AP⊥PE， ∴∠APE＝90°，

∴△APE是等腰直角三角形，

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∴AP＝PE， 故①正确；

②如图3，连接CG，由①知：PG∥AB，PG＝AB，

∵AB＝CD，AB∥CD， ∴PG∥CD，PG＝CD， ∴四边形DCGP是平行四边形， ∴CG＝PD，CG∥PD， ∵PD⊥EF，

∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°， ∵∠CEG＝45°， ∴CE＝

CG＝

PD；

故②正确；

③如图4，连接AC交BD于O，由②知：∠CGF＝∠GFD＝90°，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∴∠COF＝90°， ∴四边形OCGF是矩形， ∴CG＝OF＝PD，

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∴BD＝OB＝BF﹣OF＝BF﹣PD， 故③正确；

④如图4中，在△AOP和△PFE中， ∵

，

∴△AOP≌△PFE（AAS）， ∴S△AOP＝S△PEF， ∴S△ADP＜S△AOP＝S△PEF， 故④不正确；

本题结论正确的有：①②③， 故答案为：①②③．

【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

8．（2019?日照）规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（a，b），那么向量可以表示为：

＝（a，b），如果

与

与

互相垂直，

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），

），则锐角

那么x1x2+y1y2＝0．若∠α＝ 60° ．

互相垂直，＝（sinα，1），＝（2，﹣

【分析】根据平面向量垂直的判定方法得到：2sinα+1×（﹣角函数值解答．

【解答】解：依题意，得2sinα+1×（﹣解得sinα＝∵α是锐角， ∴α＝60°． 故答案是：60°．

．

）＝0，

）＝0，结合特殊角的三

【点评】本题考查平面向量，点的坐标，平面向量垂直的条件等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．（2019?上海）如图，在正六边形ABCDEF中，设

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＝，＝，那么向量用向量、

表示为 2+ ．

【分析】连接CF．利用三角形法则：【解答】解：连接CF．

＝

+

，求出

即可．

∵多边形ABCDEF是正六边形， AB∥CF，CF＝2BA， ∴∵∴

＝2， ＝

+

，

＝2+，

故答案为2+．

【点评】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．

10．（2019?沈阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝BC＝2

，则四边形EGFH的周长是 4 ．

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