【冲刺实验班】河南河南省实验中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析

∴AC=OA-OC=

，

∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°， ∴∠EAC=60°，

∴△ACE是等边三角形， ∴AE=AC=

， ∴AF= AE= ，EF= AE= ，

∴OF=OA-AF=

，

， ）．

∴点E的坐标为：（

【解析】

（1）由点A（，0）与点B（0，-），可求得线段AB的长，然后由∠AOB=90°，可得AB是直径，继而求得⊙M的半径；

（2）由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；

（3）首先过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，易得△AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．

此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

2

26.【答案】解：（1）∵二次函数y=ax+bx- 的图象经过点A（-1，0）、C（2，0）， ， ∴ ，得

∴y= x2- x- =

2

，

∴二次函数的表达式是y= x- x- ，顶点坐标是（ ，

）；

（2）①点M的坐标为（ ， ），（ ，- ）或（ ，-

），

理由：当AM1⊥AB时，如右图1所示， ∵点A（-1，0），点B（0，- ）， ∴OA=1，OB= ， ∴tan∠BAO= = ，

∴∠BAO=60°， ∴∠OAM1=30°，

∴tan∠OAM1=

，

解得，DM1= ，

∴M1的坐标为（ ， ）；

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当BM3⊥AB时， 同理可得，

，解得，DM3= ，

∴M3的坐标为（ ，-

）；

当点M2到线段AB的中点的距离等于线段AB的一半时， ∵点A（-1，0），点B（0，- ），

∴线段AB中点的坐标为（-， ），线段AB的长度是2，

设点M2的坐标为（ ，m），

则 =1，解得，m= ，

即点M2的坐标为（ ，- ）；

由上可得，点M的坐标为（ ， ），（ ，- ）或（ ，-

）；

②如图2所示，作AB的垂直平分线，于y轴交于点F， 由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°，

∴以F为圆心，AF长为半径作圆交对称轴于点M和M′点， 则∠AMB=∠AM′B= ∠AFB=60°， ∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1， ∴∠FAO=30°，AF=

=FM=FM′，OF= ，

过点F作FG⊥MM′于点G， ∵FG= ，

∴MG=M′G= ，

又∵G（ ，- ），

∴M（ ， ∴

），M′（ ， ），

≤t≤

．

【解析】

2

（1）根据二次函数y=ax+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），可以求得该函数的解析式，然后

将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；

（2）①根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法即可求得点M的坐标； ②根据题意，构造一个圆，然后根据圆周角与圆心角的关系和∠AMB不小于60°，即可求得t的取值范围． 本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用分类讨论和数形结合的思想解答．

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27.【答案】不可能 【解析】

解：（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，

2222

∴OA＞AD，OD＞AD，

2222

∴OA+OD＞2AD≠AD，

∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾， ∴ON不可能过D点， 故答案为：不可能；

②如图2中，∵EH⊥CD，EF⊥BC， ∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°， ∴四边形EFCH为矩形， ∵∠MON=90°，

∴∠EOF=90°-∠AOB，

在正方形ABCD中，∠BAO=90°-∠AOB， ∴∠EOF=∠BAO， 在△OFE和△ABO中，

，

∴△OFE≌△ABO（AAS）， ∴EF=OB，OF=AB，

又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC， ∴CF=EF，

∴四边形EFCH为正方形；

③结论：OA=OE．

理由：如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．

∵AB=BC，BQ=BO， ∴AQ=QC，

∵∠QAO=∠EOC，∠AQO=∠ECO=135°， ∴△AQO≌△OCE（ASA）， ∴AO=OE．

（2）

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∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG， ∴△PKO∽△OBG， ∵S△PKO=S△OBG，

∴∴OP=1，

=（）=，

2

∴S△POG=OG?OP=×1×2=1，

222

设OB=a，BG=b，则a+b=OG=4， ∴b=

，

=

=

，

∴S△OBG=ab=a

2

∴当a=2时，△OBG有最大值1，此时S△PKO=S△OBG=， ∴四边形PKBG的最大面积为1+1+=． ∴当BO为

时，四边形PKBG的面积最大，最大面积为．

（1）①若ON过点D时，则在△OAD中不满足勾股定理，可知不可能过D点； ②由条件可先判业四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可证得结论；

③结论：OA=OE．如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．证明△AQO≌△OCE（ASA）即可．

（2）由条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可求得OP=2，可求得△POG面积为定值及△PKO和△OBG的关系，只要△CGB的面积有最大值时，则四边形PKBG的面积就最大，设OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，则可用a表示出△OBG的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PKBG面积的最大值．

本题为四边形的综合应用，涉及矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）①中注意反

中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分） 28. 2的算术平方根是（ ）

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