谈高中教材中的“向量”内容

2y12y2可设A(,y1),B(,y2),则

2p2py C 2y2B(,y2) 2ppC(?,y2).因A，B，F三点共线，

2从而有：AF??BF（λ为实数），

2py12py2即（?,?y1)??(?,?y2), O 22p22pA(2?py12?y12py2p??(?)??(?)???亦即?22p22p,??2p2 （ 图3）

?y??y?y??y22?1?1y,y1)2p21x 又OA?(Pp?y2),OC?(?,y2),∴OA??OC，故A，O，C三点共线， 22即直线AC过原点O。

本题证明直线AC过原点O，利用向量知识只要证明OA??OC中实数λ存在即可，这样将OA,OC用坐标表示，证明的过程就转化为坐标运算。这种建立适当的坐标系，用坐标来表示向量，通过向量的坐标运算得到问题的解决的就是坐标法。坐标法解决问题的步骤： ①建立直角坐标系；

②求出题中相关的点和向量的坐标； ③利用向量的坐标运算得到问题的结论。 四、向量在解题中的应用举例：

1、向量与平面解析几何：平面解析几何是利用坐标法去研究平面内的曲线的性质，向量亦有

坐标形式，因此，向量在解析几何中的应用比较广泛。

1.1、利用两个非零向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)的数量积a?b?x1x2?y1y2.

x2y2??1的焦点为F1、例3 （2000年全国高考题）椭圆F2，点P为其上的动点，当?F1PF2 94为钝角时，点P横坐标的取值范围是 。 解 由题意设P(x0,y0),F1(?5,0),F2(5,0),则

由于?F1PF2为钝角，所以PF1?PF2?0,

PF1?(?5?x0,?y0),PF2?(5?x0,?y0),

2即(?5?x0)(5?x0)?y0?0. ??????????????①

又点P(x0,y0)在椭圆上，

x2y2??1 ??????????????? ② ∴94由①、②不难得到?335?x0?5. 551.2、利用两向量共线的充要条件：a∥b充要条件是存在一个实数?,使a??b(b?0) 例4 （2001年安徽春季高考题）已知抛物线y2?2px(p?0),若有过动点M(a,b)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，AB?2p （1）求a的取值范围；

y （２）若线段ＡＢ的垂直平分线交x轴于点Ｎ，求S?NAB的面积的最大值。 2y12y2解 （１）设A(,y1),B(,y2),如图4，

2p2pA 21则AB?(y?yy,y2?y1),MA??a,y1), 2p2p2221B M 0 Q N x 2y2MB?(?a,y2), 图4 2p∴MB与MA共线，

2y12y2∴(?a)y2?(?a)y1?0,

2p2p可得 y1y2??2pa. 又直线l的斜率为1，

2y2?y12 ∴y2?y1?,可得y1?y2?2p,

2p∴AB?2y2?y1?2(y1?y2)2?8y1y2?8p2?16pa,

pp?a??. 24令0?AB?2p,可得?(1)设AB的垂直平分线交AB于点Q(x,y)，则

2?y12?y2?a?p?x??2?2p ?,

?y?y1?y2?p?2?∴

。NQ?MQ， MQ?(p,p),MQ?2p（定值）

S?NAB?12ABNQ?pAB?2p2,故?NAB面积最大值为2p2. 221.3、利用两个非零向量夹角公式cos??a?ba?b(0????180?).

例5 （1999年全国高考题）如图5，给出定点A(a,0)(a?0)和直线l:x??1

B是直线l上的动点，?BOA的角平分线交AB于点C，求C点的轨迹方程 ，并讨论方程表示的曲线类型a值的关系。 y 解 设OA?(a,0),BC?(?1,b),OC?(x,y),0?x?a,则 AC?(x?a,y),BC?(x?1,y?b),

由OC平分?BOA，知cos?AOC?cos?BOC (1) 当b?0,y?0,0?x?a,

∵ ∴x?B C OA?OCOA?OC?OB?OCOB?OC-1 O A x , （图5） by?x1?b2 ?????????????① 又AC与BC共

线，有(x?a)(y?b)?y(x?1)?0, ∴b?1?ay. ????????????② a?x将②代入①得：

(1?a)x2?2ax?(1?a)y2?0(0?x?a)???③

(2) 当b?0时，?AOB??，点C（0，0）适合③。

综上（1）、（2）得C的轨迹方程为：

(1?a)x?2ax?(1?a)y?0(0?x?a).（讨论略）

221.4、利用两个非零中量a?b的充分条件a?b?0.

例6 （2000年北京、安徽春季高考题）如图6，设点A和为B抛物线y2?4px(p?0)知原点以外的两个动点，已知OA?OB,OM?AB,求点M的轨迹方程 ，并说明它表示什么曲线。

2y12y2解 设A(,y1),B(,y2),M(x,y),

4p4p2y12y2则OA?(,y1),OB?(,y2).

4p4p

2y2?y12OM?(x,y),AB?(,y2?y1),4py12AM?(x?,y?y1).4p（图6）

∵OA?OB,∴OA?OB?0,

2y12y2 即??y1y2?0

4p4p 化简得y1?y2??16p ??????????????????①

2y2?y12 又OM∥AB, ∴OM?AB?0. 即?x?(y2?y1)?y?0,

4p2化简得 ：

y1?y2?x?y?0. ??????????????② 4p2y12y2y12又AM∥AB,∴(x?)(y2?y1)?(?)(y?y1)?0.???③

4p4p4p即(x?y1?y2yy)?y?12?0.将①②代入③得：x2?y2?4px?0. 4p4p22A、B是异于原点的点，故x?0，所以点M的轨迹方程为x?y?4px?0(x?0),

它表示(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆（除去圆点）。

2、向量与立体几何：