第二章 解析函数

第二章 解析函数

2.1 基本要求和内容提要 2.1.1基本要求

1. 正确理解复变函数可导与解析的概念，弄清可导与解析两概念之间的关系，弄清复变

函数可导与其实部、虚部作为二元实函数可微之间的联系与差别. 2. 能运用C-R条件判别给定函数的解析性.

3. 熟练掌握解析函数的和、差、积、商、复合函数及反函数的求导公式.

4. 要知道解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数u?iv. 5. 要记住自变量取复数值时初等函数的定义和它们的一些主要性质. 2.1.2 内容提要

解析函数是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用. 1. 解析函数的概念

（1） 复变函数的导数

定义2.1 设函数w?f(z)在点z0的某领域内有定义，z0??z是领域内任一点，

?w?f(z0??z)?f(z0)，如果

f(z0??z)?f(z0)?w?lim

?z?0?z?z?0?zlim存在有限的极限值A，则称f(z)在z0处可导，A记作f?(z0)或

dw，即

dzz?z0f?(z0)?lim?z?0f(z0??z)?f(z0) 或 ?w?f?(z0)?z?o(?z)(?z?0).

?z也称df(z0)?f?(z0)?z或f?(z0)dz为f(z)在z0处的微分，故也称f(z)在z0处可微. （2） 解析函数的概念与求导法则

定义2.2 如果f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，则称f(z)在z0处解析；如果

f(z)在区域D内每一点解析，则称f(z)在D内解析，或说f(z)是D内的解析函数；

如果f(z)在z0处不解析，则称z0为f(z)的奇点. [1]导数的四则运算

设f(z)和g(z)都是区域D上的解析函数，

则f(z)?g(z),f(z)g(z),及f(z)(g(z)?0)在D上解析，且有 g(z)

?f(z)?g(z)???f?(z)?g?(z),

?f(z)g(z)???f?(z)g(z)?f(z)g?(z)，

?f(z)??f?(z)g(z)?f(z)g?(z) ?. ??2g(z)???g(z)? [2] 复合函数的求导法则

设函数??f(z)在区域D上解析，函数w?g(?)在区域G内解析，又

f(D)?G(f(D)的表示函数??f(z)值域，也就是区域D的像），则复合函数w?g(f(z))?h(z)在D内解析，且有

h?(z)??g(f(z))???g?(f(z))f?(z).

[3] 反函数的求导法则

设函数w?f(z)在区域D内解析且f?(z)?0，又反函数z?f?1(w)??(w)存

在且连续，则

??(w)?11. ?f?(z)z??(w)f?(?(w))?x处iy可导的充要条件是，

(3) 函数解析的一个充分必要条件

定理2.1 函数f(z)?u(x,y)?iv(x,在y)?zu(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微，而且满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程

（简称C-R方程）：

?u?v?u?v?，?. ?x?y?y?x 当定理2.1的条件满足时，可按下列公式之一计算f?(z)： f?(z)??u?v?v?v?u?u?v?u?i??i??i??i. ?x?x?y?x?x?y?y?y 注意，C-R条件只是函数f(z)可导的必要条件而并非充分条件. 如果考虑区域上的解析函数，由定理2.1就可以得到下面的结论.

定理2.2 函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析（即在D内可导）的充要

条件是，u(x,y)和v(x,y)在D内处处可微，而且满足C-R方程.

推论 设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内有定义，如果在D内

???u(x,y)和v(x,y)的四个偏导数u?x,uy,vx,vy存在且连续，并且满足C-R方程，则

f(z)在D内解析.

2. 解析函数和调和函数的关系

（1） 调和函数的概念

定义2.3 如果二元实函数?(x,y)在区域D内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯（Laplace）方程

?2??2??2?0， 2?x?y则称?(x,y)为区域D内的调和函数，或说函数?(x,y)在区域D内调和.

)i(x,y)区域D内解析，则f(z)的实部 定理2.3 设函数f(z)?u(x,y?在D内的调和函数. u(x,y)和虚部v(x,y都是区域)（2） 共轭调和函数

定义2.4 设函数?(x,y)及?(x,y)均为区域D内的调和函数，且满足C-R方程

?????????,?? ?x?y?x?y 则称?是?的共轭调和函数.

显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数. 反过来，由具有共轭性质的两个调和函

数构造一个复变函数是不是解析的？下面的定理回答了这个问题.

定理2.4 复变函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析的充分必要条件是：

在区域D内，f(z)的虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数.

根据这个定理，便可利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数.

（3） 解析函数和调和函数的关系

由于共轭调和函数的这种关系，如果知道了其中一个，则可根据C-R方程求出另一个，通常有两种方法：偏积分法和线积分法. 3. 初等函数

指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数、幂函数、反三角函数以及反双曲函数. 当初等实变函数推广到初等复变函数时，揭示出了许多重要性质. 如指数函数的周期性，对数函数的无穷多值性，正弦函数、余弦函数的无界性.

2.2 典型例题与解题方法

例1 试讨论函数f(z)?Imz的可导性. 解一 用导数定义来讨论.

?wf(z??z)?f(z)Im(z??z)?Imz?? ?z?z?zImz?Im?z?ImzIm?z? ?

?z?z

?Im(?x?i?y)?y. ??x?i?y?x?i?y当点沿平行于实轴的方向??y?0?而使?z?0时，

?w?y0lim?lim?lim?0，

?z?0?z?x?0?x?i?y?x?0?x?y?0当点沿平行于虚轴的方向??x?0?而使?z?0时， lim?w?y?y1?lim?lim?.

?z?0?z?x?0?x?i?y?y?0i?yi?y?0?w?w的极限不同. 所以lim不存

?z?0?z?z因此，当点沿不同方向而使?z?0时，

在. 而z是复平面上任意点，所以f(z)?Imz在复平面上处处不可导，自然也处处不解析.显然f(z)?Imz在复平面处处连续. 解二 用C-R条件来研究.

设z?x?iy，则f(z)?Imz?y，所以

u?y,v?0.

?u?u?0,?1,?x?y?v?v?0,?0. ?x?y因

?u?v??，故函数f(z)?Imz在复平面上处处不可导. ?y?x例2 讨论函数f(z)?x?2iy的可导性. 解 因为

f(z??z)?f(z)

?z?0?zx??x?2i(y??y)?x?2iy?lim ?z?0?zlim ?lim?x?2?yi.

?z?0?x?i?y