3、小升初分班奥数计数原理 - 图文

【巩固】 有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？ 【解析】 如图：○○|○○○○|○○○○，将10粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九个空中画两条竖线，一共有9?8?2?36种方法． 【例 17】 某池塘中有A、B、C三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？ 【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C船． ⑴若这5人都不乘坐C船，则恰好坐满A、B两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A1?3种方法；②若两个儿童不在同一条船上，即分别在A、B两船上，则B船上还必须有1个成人，有C311?2种选择，1个成人有C3?3种选择，所以有2?3?6种方船上有1个儿童和1个成人，1个儿童有C2法．故5人都不乘坐C船有3?6?9种安全方法； 1?3种选择．其余的2个成人与2个儿童，⑵若这5人中有1人乘坐C船，这个人必定是个成人，有C31?2种方法，所以此①若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有C2时有3?2?6种方法；②若两个儿童不在同一条船上，那么B船上有1个儿童和1个成人，此时1个儿童1?2种选择，所以此种情况下有3?2?2?12种方法；故5人中有1人乘坐C船有和1个成人均有C26?12?18种安全方法．所以，共有9?18?27种安全乘法． 【例 18】 从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？ ⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选； ⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。 35?C10?14112种； 【解析】 ⑴恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为C8⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况： 8871C18?C10?C10?C8?43758； 4?1001种； ⑶4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有C1484⑷从所有的选法C18种中减去这4个人同时入选的C14种： 84C18?C14?43758?1001?42757． ⑸分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共： 81726C14?C4?C14?C4?C14?34749。 【巩固】 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？ ⑴ 有3名内科医生和2名外科医生； ⑵ 既有内科医生，又有外科医生； ⑶ 至少有一名主任参加； ⑷ 既有主任，又有外科医生。 3【解析】 ⑴ 先从6名内科医生中选3名，有C6?2共有C4?6?5?4?20种选法；再从4名外科医生中选2名， 3?2?14?3?6种选法．根据乘法原理，一共有选派方法20?6?120种． 2?110?9?8?7?65⑵ 用“去杂法”较方便，先考虑从10名医生中任意选派5人，有C10??252 种选派方法；5?4?3?2?1再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况．由于外科医生只有4人，所以不可能只派外科医生．如51?C6?6种选派方法．所以，一共有252?6?246种既有内科医生又有外科果只派内科医生，有C6医生的选派方法。 ⑶ 如果选1名主任，则不是主任的8名医生要选4人，有2?C84?2?8?7?6?5?140种选派方法；如果4?3?2?18?7?63选2名主任，则不是主任的8名医生要选3人，有1?C8根据加法原理，?1??56种选派方法．3?2?1一共有140?56?196种选派方法． ⑷ 分两类讨论： 9?8?7?6?126种选取方法； 4?3?2?1②若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余4人不能全选内科医生，用“去杂法”有8?7?6?55?4?3?24C84?C5???65种选取法． 4?3?2?14?3?2?1根据加法原理，一共有126?65?191种选派方法。 ①若选外科主任，则其余4人可任意选取，有C94? 【例 19】 在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案？ 【解析】 按具有双项技术的学生分类： 3⑴ 两人都不选派，有C5?5?4?3?10(种)选派方法； 3?2?1⑵ 两人中选派1人，有2种选法．而针对此人的任务又分两类： 若此人要安装电脑，则还需2人安装电脑，有C52?5?4而另外会安装音响设备的3人?10(种)选法，2?1全选派上，只有1种选法．由乘法原理，有10?1?10(种)选法； 若此人安装音响设备，则还需从3人中选2人安装音响设备，有C32?3选3人安装电脑，有C5?3?2?3(种)选法，需从5人中2?15?4?3?10(种)选法．由乘法原理，有3?10?30(种)选法． 3?2?1根据加法原理，有10?30?40(种)选法； 综上所述，一共有2?40?80(种)选派方法． ⑶ 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下： ①两人全安装电脑，则还需要从5人中选1人安装电脑，另外会安装音响设备的3人全选上安装音响设备，有5?1?5(种)选派方案； ②两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有C52?C32?3③两人全安装音响设备，有3?C5?3?5?43?2??60(种)选派方案； 2?12?15?4?3?30(种)选派方案． 3?2?1根据加法原理，共有5?60?30?95(种)选派方案． 综合以上所述，符合条件的方案一共有10?80?95?185(种)． 【例 20】 有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？ 【解析】 针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参考情况分成三类： 1?5种选择，需从4名日语翻译员中⑴ 多面手不参加，则需从5名英语翻译员中选出4人，有C54?C5选出4人，有1种选择．由乘法原理，有5?1?5种选择． ⑵ 多面手中有一人入选，有2种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能： 3如果参加英文翻译，则需从5名英语翻译员中再选出3人，有C5?5?4?3?10种选择，需从4名日3?2?1语翻译员中选出4人，有1种选择．由乘法原理，有2?10?1?20种选择； 1?5种选择，需从4名日语翻译如果参加日文翻译，则需从5名英语翻译员中选出4人，有C54?C531?C4?4种选择．由乘法原理，有2?5?4?40种选择．根据加法原理，多面员中再选出3名，有C4手中有一人入选，有20?40?60种选择． ⑶ 多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况： ①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种． 情况①中，还需从5名英语翻译员中选出2人，有C52?人，1种选择．由乘法原理，有1?10?1?10种选择． 1?5种选择．还需从4名日语翻译员中选出2情况②中，需从5名英语翻译员中选出4人，有C54?C55?4需从4名日语翻译员中选4?10种选择．2?12人，有C4?4?3?6种选择．根据乘法原理，共有1?5?6?30种选择． 2?1情况③中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择．剩下的需从5名英语翻译员中选出3人，3有C5?5?4?331?C4?4种选择．由乘法原理，?10种选择，需从4名日语翻译员中选出3人，有C43?2?1有1?2?10?4?80种选择． 根据加法原理，多面手中两人均入选，一共有10?30?80?120种选择． 综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出5?60?120?185张． 二、 几何计数 【例 21】 下图中共有____个正方形。 【解析】 每个4?4正方形中有：边长为1的正方形有42个；边长为2的正方形有32个； 边长为3的正方形有22个；边长为4的正方形有12个；总共有42?32?22?12?30(个)正方形．现有5个4?4的正方形，它们重叠部分是4个2?2的正方形．因此，图中正方形的个数是30?5?5?4?130。 【例 22】 在图中(单位：厘米)： ①一共有几个长方形? ②所有这些长方形面积的和是多少? 512812473 【解析】 ①一共有(4?3?2?1)?(4?3?2?1)?100(个)长方形； ②所求的和是 ?5?12?8?1?(5?12)?(12?8)?(8?1)?(5?12?8)?(12?8?1)?(5?12?8?1)?? ?2?4?7?3?(2?4)?(4?7)?(7?3)?(2?4?7)?(4?7?3)?(2?4?7?3)??144?86?12384(平方厘米)。 【例 23】 由20个边长为1的小正方形拼成一个4?5长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 。 (第六届走美决赛试题) ☆ 【解析】 含☆的一行内所有可能的长方形有：(八种) 含☆的一列内所有可能的长方形有：(六种) ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 所以总共长方形有6?8?48个，面积总和为(1?2?2?3?3?4?4?5)?(1?2?2?3?3?4)?360。 【巩固】 图中共有多少个三角形？ 【解析】 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类? （1）最大的三角形1个(即△ABC)， （2）第二大的三角形有3个 （3）第三大的三角形有6个 （4）第四大的三角形有10个 （5）第五大的三角形有15个 （6）最小的三角形有24个 所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个） 图中共有三角形2×59=118（个）。 【例 24】 一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法? 【解析】 我们采用递推的方法． I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法． Ⅱ如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个 点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这 时有可能的连法。 Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在： ①A1所在三角形的一个边所对的弧上；