3、小升初分班奥数计数原理 - 图文

乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？ 【解析】 这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3种排法，再排甲，也有3种排法，剩下的人随意排，有P33?3?2?1?6(种)排法．由乘法原理，一共有3?3?6?54(种)不同的排法。 【例 9】 4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： ⑴ 甲不在中间也不在两端； ⑵ 甲、乙两人必须排在两端； ⑶ 男、女生分别排在一起； ⑷ 男女相间． 【解析】 ⑴ 先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随 8意排，也就是8个元素全排列的问题，有P8?8?7?6?5?4?3?2?1?40320(种)选择．由乘法原理，共有6?40320?241920(种)排法． ⑵ 甲、乙先排，有P22?2?1?2(种)排法；剩下的7个人随意排，有 P77?7?6?5?4?3?2?1?5040(种)排法．由乘法原理，共有2?5040?10080(种)排法． ⑶ 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有P22?2?1?2(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有 P44?4?3?2?1?24(种)和P55?5?4?3?2?1?120(种)排法． 由乘法原理，共有2?24?120?5760(种)排法． ⑷ 先排4名男生，有P44?4?3?2?1?24(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有P55?5?4?3?2?1?120(种)排法．由乘法原理，一共有24?120?2880(种)排法。 【巩固】 五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法。 【解析】 五位同学的排列方式共有5×4×3×2×1=120（种）。 如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24（种）。 因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×2=48(种)； 贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72（种）。 【例 10】 一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求： ⑴ 当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？ ⑵ 当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？ 【解析】 ⑴ 先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列的问题，有 P77?7!?7?6?5?4?3?2?1?5040(种)方法．第二步再排4个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节 目全排列的问题，有P44?4!?4?3?2?1?24(种)方法． 根据乘法原理，一共有5040?24?120960(种)方法． ⑵ 首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是6个元素全排列的问题，一共有P66?6!?6?5?4?3?2?1?720(种)方法． ×□×□×□×□×□×□× 第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这相当于从7个“×”中选4个来排，一共有P74?7?6?5?4?840(种)方法． 根据乘法原理，一共有720?840?604800(种)方法。 【巩固】 由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？ 【解析】 先排独唱节目，四个节目随意排，是4个元素全排列的问题，有P44?4?3?2?1?24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有P32?3?2?6(种)排法；再在独唱节目之间的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法．由乘法原理，一共有24?6?3?432(种)不同的编排方法． 【小结】排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素．如本题中，独唱节目排好之后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了．总的排列数用乘法原理．把若干个排列数相乘，得出最后的答案。 【例 11】 ⑴从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式） ⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？ ⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？ ⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？ ⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？ ⑹8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？ 【解析】 ⑴按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有P83种． ⑵3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有P83种． ⑶3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有P83种． ⑷3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有P83种． ⑸3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有P83种． ⑹土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有P83种。 【巩固】 现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组： (1)共有多少种选法? (2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种? (3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种? (4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种? 【解析】 （1）从3个男同学中选出2人，有3?24?3=3种选法。从4个女同学中选出2人，有=6种选法。22在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4×3×2×1=24种选法。 3×6×24=432，所以共有432种选法。 （2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2×3×2×1=12种选法。 3×6×12=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种。 （3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人，从3个女同学中选出1人，3个人参加3个小组时的选法。 3×3×3×2×1=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54种，432-54=378，所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种。 （4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参加两个不同的小组，从3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法。 3×2×3=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18种，216-18=198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有198种。 【例 12】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？ 6?52【解析】 第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛C6??15场，共8个小组，有2?1215?8?120场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛C4?4?3?6场，共4个小组，2?1有6?4?24场；第三阶段赛2?2?4场．根据加法原理，整个赛程一共有120?24?4?148场比赛。 【例 13】 由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个。(2007年“迎春杯”高年级组决赛) 【解析】 这是一道组合计数问题．由于题目中仅要求1，2，3至少各出现一次，没有确定1，2，3出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由1,2,3组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可． 1?5?4?60(个)；⑵1，2，3中有(法1)分两类：⑴1，2，3中恰有一个数字出现3次，这样的数有C32?90(个)．符合题意的五位数共有60?90?150(个)． 两个数字各出现2次，这样的数有C32?5?C4(法2)从反面想，由1，2，3组成的五位数共有35个，由1，2，3中的某2个数字组成的五位数共有3?(25?2)个，由1，2，3中的某1个数字组成的五位数共有3个，所以符合题意的五位数共有35?3?(25?2)?3?150(个)。 【例 14】 10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？ 【解析】 (法1)乘法原理．按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有7种选择，总共就有7?10?70种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结果应该是(10?1?1?1)?10?2?35(种)． 2(法2)排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为C10，而被选的两个人相邻的2?10?45?10?35(种)。 情况有10种，所以共有C10 【例 15】 8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？ 【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇． 小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻 小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑 31?P22?C4?P22?P33?3360（种） 只满足第一、三个条件的站法总数为：C73?P22?P32?P22?P22?960（种） 同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：C6因此同时满足三个条件的站法总数为：3360?960?2400（种）。 【例 16】 小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法? 【解析】 我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分。 我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…， 如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒： ○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒． 不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法。 【巩固】 小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？ 【解析】 分三种情况来考虑： ⑴ 当小红最多一天吃4块时，其余各每天吃1块，吃4块的这天可以是这七天里的任何一天，有7种吃法； ⑵ 当小红最多一天吃3块时，必有一天吃2块，其余五天每天吃1块，先选吃3块的那天，有7种选择，再选吃2块的那天，有6种选择，由乘法原理，有7?6?42种吃法； ⑶ 当小红最多一天吃2块时，必有三天每天吃2块，其四天每天吃1块，从7天中选3天，有3C7?7?6?5?35(种)吃法。 3?2?1根据加法原理，小红一共有7?42?35?84(种)不同的吃法． 63?C9?84(种)不同的吃法。 还可以用挡板法来解这道题，10块糖有9个空，选6个空放挡板，有C9 【巩固】 把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？ 2?78种分法． 【解析】 (法1)先给每人2个，还有14个苹果，每人至少分一个，13个空插2个板，有C13 (法2)也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举。