3、小升初分班奥数计数原理 - 图文

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号： 学员编号: 年 级：小六 课时数：3 学员姓名: 辅导科目：奥数 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 计数原理 备课时间： 对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等；根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。 教学内容 【专题知识点概述】 一、排列 一般地，从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做Pnm． 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(n?1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n?1)种方法； …… 步骤m：从剩下的[n?(m?1)]个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n?（m?1）?n?m?1(种)方法； 由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是n（，即?n?1）（?n?2）?（?n?m?1）Pnm?（nn?1）（.n?2）（n?m?1），这里，m?n，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘。 二、组合 一般地，从n个不同元素中取出m个(m?n)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n个不同元素中取出m个元素(m?n)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数．记作Cnm。 一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数Pmn可分成以下两步： 第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cnm种方法； 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pmm种排法． Pnmn（?n?1）（?n?2)?（?n?m?1）根据乘法原理，得到P?C?P．因此，组合数C?m?． Pmm（?m?1）（?m?2）??3?2?1mnmnmmmn这个公式就是组合数公式． 【习题精讲】 一、 排列组合的应用 【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间. （3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人. （7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。 【解析】 （1）P77?5040（种）。 （2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．P66?720（种）. （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×P6=1440(种)． （4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．2?P55?240 (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，P52?P55?2400（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．P77?5040（种）. （7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×P5×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。 【例 2】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？ 56【解析】 个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知n?5，m?2，根据排列数公式，一共可以组成P52?5?4?20(个)符合题意的三位数。 【巩固】 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？ 【解析】 可以分两类来看： ⑴ 把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有P44?4?3?2?1?24(种)放法，对应24个不同的五位数； ⑵ 把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有P33?6种选择．由乘法原理，可以组成3?3?6?54(个)不同的五位数。 由加法原理，可以组成24?54?78(个)不同的五位数。 【巩固】 用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？ 【解析】 从高位到低位逐层分类： ⑴ 千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有P93?9?8?7?504(种)排列方式．由乘法原理，有4?504?2016(个)． ⑵ 千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数2字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即P8?8?7?56，由乘法原理，有1?5?56?280(个)． ⑶ 千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有1?1?6?7?42(个)． ⑷ 千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个． 综上所述，比5687小的四位数有2016?280?42?5?2343(个)，故比5687小是第2344个四位数． 【例 3】 用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？ 【解析】 按位数来分类考虑： ⑴ 一位数只有1个3； ⑵ 两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成P22?2?1?2(个)不同的两位数，共可组成2?4?8(个)不同的两位数； ⑶ 三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成P33?3?2?1?6(个)不同的三位数，共可组成6?4?24(个)不同的三位数； ⑷ 四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有P44?4?3?2?1?24(个)不同的四位数； ⑸ 五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有P55?5?4?3?2?1?120(个)不同的五位数． 由加法原理，一共有1?8?24?24?120?177(个)能被3整除的数，即3的倍数． 【巩固】 用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？ 【解析】 由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有P52?5?4?20(种)选法．由乘法原理，一共可以组成3?20?60(个)不同的偶数． 【例 4】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？ 【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。 第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择； 第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4?3?12(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择． 综上所述，由加法原理，一共可以组成4?12?12?12?12?4?56(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次． 【例 5】 两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？ 1?6(种)选法，第二个位置在另一胞胎的3人中任选一个，有【解析】 第一个位置在6个人中任选一个，有C61C3?3(种)选法．同理，第3，4，5，6个位置依次有2，2，1，1种选法．由乘法原理，不同的坐法11有P61?P31?P21?P21?P1?P1?6?3?2?2?1?1?72(种)。 【例 6】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个? 【解析】 设A:BCDE是满足题意的时刻，有A为8，B、D应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有P6种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有P7种选法，所以共有P6×P7=1260种选法。 从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。 【例 7】 一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数? 【解析】 设这个六位数为abcdef，则有(a?c?e)、(b?d?f)的差为0或11的倍数．且a、b、c、d、e、f均不为0，任何一个数作为首位都是一个六位数。 先考虑a、c、e偶数位内，b、d、f奇数位内的组内交换，有P3×P3=36种顺序； 再考虑形如badcfe这种奇数位与偶数位的组间调换，也有P3×P3=36种顺序。 所以，用均不为0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72个能被11整除的数(包含原来的abcdef)。 所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数。 【例 8】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、33222233