历届全国大学生数学竞赛预赛试题

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2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）. （1）求极限lim(n!).

n??1n2?2x?y?3z?2?0（2）求通过直线l:?的两个互相垂直的平面?1和?2，使其中一个平面过

5x?5y?4z?3?0?点(4,?3,1).

（3）已知函数z?u(x,y)eax?by?2u?0. 确定常数a和b，使函数z?z(x,y)满足方程，且

?x?y?2z?z?z???z?0. ?x?y?x?y（4）设函数u?u(x)连续可微，u(2)?1，且?(x?2y)udx?(x?u)3udy在右半平面与路径无

L关，求u(x,y). （5）求极限lim3x?x???x?1xsintdt.

t?cost??0二、（本题10分）计算?e?2xsinxdx.

1?2x?501的近似解，精确到0.001. x四、（本题12分）设函数y?f(x)二阶可导，且f??(x)?0，f(0)?0，f?(0)?0，求

三、（本题10分）求方程x2sinx3f(u)lim，其中u是曲线y?f(x)上点P(x,f(x))处的切线在x轴上的截距. x?0f(x)sin3u五、（本题12分）求最小实数C，使得满足

?10f(x)dx?1的连续函数f(x)都有

?10f(x)dx?C.

六、（本题12分）设f(x)为连续函数，t?0. 区域?是由抛物面z?x2?y2和球面 x2?y2?z2?t2(z?0)所围起来的部分. 定义三重积分F(t)????f(x2?y2?z2)dv，

?求F(t)的导数F??(t).

七、（本题14分）设?an与?bn为正项级数，证明：

n?1n?1?an1?（1）若lim???0，则级数?an收敛；

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??an1?（2）若lim???0，且级数?bn发散，则级数?an发散.

n??abbn?1n?1n?1nn?1

2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤） 1.求极限lim1?sin?1?4nn???2?.

n2.证明广义积分???0sinxdx不是绝对收敛的. x3.设函数y?y(x)由x3?3x2y?2y3?2确定，求y(x)的极值.

4.过曲线y?3x(x?0)上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为

3，求点A的坐标. 4二、（满分12分）计算定积分I?????xsinx?arctanexdx.

1?cos2xx?0三、（满分12分）设f?x?在x?0处存在二阶导数f??(0)，且limf?x??0.证明：级数x?n?1??1?f??收敛. ?n?b2. ?am五、（满分14分）设?是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分四、（满分12分）设f(x)??,f?(x)?m?0(a?x?b)，证明

sinf(x)dx?I????x3?x?dydz??23y??ydzdx?x.试确定曲面y?，使积分I的值最小，并求?33z??zdd?该最小值.

六、（满分14分）设Ia(r)??C取正向.求极限limIa(r).

r???ydx?xdy，其中a为常数，曲线C为椭圆x2?xy?y2?r2，22a(x?y)11??n的敛散性，若收敛，求其和. 七、（满分14分）判断级数?2n?1?n?1??n?2??1?

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2014年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）

1.已知y1?ex和y1?xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是 . 2.设有曲面S:z?x2?2y2和平面L:2x?2y?z?0. 则与L平行的S的切平面方程是 . 3.设函数y?y(x)由方程x??4.设xn??ny?x1dy??t?sin2??dt所确定.求

dx?4?? .

x?0k，则limxn? .

n??(k?1)!k?11f(x)f(x)?x?3lim? . 5.已知lim?1?x?，则?e?x?0x?0x2x??二、（本题12分）设n为正整数，计算I???2n?e1d?1?cos?ln?dx. dx?x?三、（本题14分）设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数，且有正常数A,B使得f(x)?A，|f\x)|?B. 证明：对任意x?[0,1]，有|f'(x)|?2A?B. 2四、（本题14分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R. 证明该球缺体积为

?3(3R?h)h2，

球冠面积为2?Rh；（2）设球体(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?12被平面P:x?y?z?6所截的小球缺为?，记球缺上的球冠为?，方向指向球外，求第二型曲面积分

I???xdydz?ydzdx?zdxdy.

?五、（本题15分）设f在[a,b]上非负连续，严格单增，且存在xn?[a,b]，使得

[f(xn)]n?1bn[f(x)]dx.求limxn. ?an??b?ann??n2?1n2?22?六、（本题15分）设An????n，求limn?A?n?. n??n2?n24??

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2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

?2??sinsin?（1）极限limn?2n?2n?n???n?1n?2??sin???2?? . n?n??（2）设函数z?z?x,y?由方程F?x???zz?,y???0所决定，其中F?u,v?具有连续偏导yx?数，且xFu?yFv?0则x?z?z?y? . ?x?y（3）曲面z?x2?y2?1在点M?1,?1,3?的切平面与曲面所围区域的体积是 .

??3,x???5,0?（4）函数f?x???在??5,5?的傅立叶级数在x?0收敛的是 .

??0,x??0,5?（5）设区间?0,???上的函数u?x?定义域为u?x??式是 .

二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程.

三、（12分）设f?x?在?a,b?内二次可导，且存在常数?,?，使得对于?x??a,b?，有f??x???f?x???f?x?，则f?x?在?a,b?内无穷次可导.

???0e?xtdt，则u?x?的初等函数表达

2n3?2n四、（14分）求幂级数??x?1?的收敛域及其和函数.

n?0?n?1?!?五、（16分）设函数f?x?在?0,1?上连续，且（1）?x0??0,1?使f?x0??4； （2）?x1??0,1?使f?x1??4.

?f?x?dx?0,?xf?x?dx?1. 试证：

0011五、（16分）设f?x,y?在x?y?1上有连续的二阶偏导数，且fxx?2fxy?fyy?M. 若

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