概率论大数定律及其应用

由此?n，有

??????0110aaaaa11x?x?......?xx1a?x2?......?xn12ndx1......dxn???????bdx1......dxndx1......dxn?1bb00x?xb?......?xbx1b?x2?......?xn12n

根据勒贝格控制收敛定理可知：

baax1a????......?xn???Pd?x1a?x2?......?xnlim?????bdx......dx?lim??= 1n0x?xb?......?xbn??0n???xb????......?xb???12nn?111bx1a????......?xn???Pd?=b?1Pd??b?1Pd? lim?????????n??xb????......?xb???a?1a?11n???aax1a?x2?......?xnb?1即lim?????b。 dx......dx?1n0x?xb?......?xbn??0a?112n11可以看出，利用大数定律求解数学分析中的重积分和极限收敛问题有它简洁的一面，也体现了大数定律等概率论等知识的广泛联系和应用。

1、大数定律在级数上的应用

大数定律在求解无穷级数上也有很大的作用，它为一些定理和固定公式的理论证明提供另一种有趣而且也有用的办法。下面我们就引用一个很著名的问题来展现大数定律在级数中的应用：

伯努利是一位伟大而且著名的数学家，但是他也被一个在现在已经解决的问题难住了：一个求级数和的问题。

求自然数倒数平方的级数和： 1?[7]

1111???......?.....。 223242n2伯努利公开征求这个问题的求解方法。

三十年过后，先是欧拉利用猜度术的方法找出了它的结果，他是第一个找出答案的，但是却不能证明，只能是数据验证，当然，到现在为止，有了很多种证明的方法，其中一种便是利用了大数定律的原理来完成的。

1111?2下面先来看其他方法之一是如何证明1?2?2?2?......2?.....?的设所有

234n6的排列为2<3<5<7<……

A1:?与?互素；

9

A2:?与?的公因子有2； A3:?与?有公因子3；

………….

Aq:?与?有公因子q；…….

因此A?是相互独立的，设1,A2,A3,......Aq,....是必然事件?，且知?Ai,i?2,3,.....?中有因子q，那么?必定是q的倍数，那也可知P??是q的倍数?=。

同理也有P??是q的倍数?=道PAq?1?

1q11，那么P??、?有公因子q?=2。由对立事件知qq??1。根据对偶规律A1?A2?A1A2,根据他们的独立性，可知 2qPA1?PA2????????P3A11?2n?1n?1??1??P4.....APqA....???21???21?3??2?????1??.....??1 2q??......根据欧拉的变换无穷乘积为级数的方法

PA1=???6?2.

下面我们就用大数定律的办法来求解这个级数的和。

从自然数中有放回任意取出两个数，设他们的最大公因子是n,事件数为 。 Mn2，Bni表示第i次取出n的倍数事件（i=2，3，4，…..）

根据第一次和第二次从自然数序列中有放回的随机取出两数是n的倍数的条件下，这两数的最大公因子是n的条件概率等于从自然数序列随机取出两数互素的概率。于是有

PMn2Bn1Bn2?P?M21?

显然Mn2?n?1,2,...?是互不相容的，且有?=???Mn2。

n?111Bni与n是相互独立的，P?Bni??,?n?1,2,...?,P?Bn1Bn2??2

nn?????1P????1?P?Mn2???P?Mn2??P?Mn2|Bn1Bn2?P?Bn1Bn2???P?M21?2nn?1?n?1?n?1

10

于是就有P?M21??11?2n?1n??6?2。

根据伯努利大数定律知道，概率可近似的利用频率来表示，因此在如此多的自然书中，随机的取出两数互素的概率为

6。于是知所求级数的和为 2?1111?21?2?2?2?......2?.....?。

234n62、多项式逼近连续函数

分析中应用概率论的思想是非常美妙的构思,证明清晰明了。作者在文献[6 ] 中利用非齐次马氏链强大数定律构造了一类奇异单调函数, 而非借助于传统的Cantor 展式。尤其多项式逼近连续函数中也容易注意到近似多项式富有意义的构造。下面类似的方法可用来较易地构造一些熟悉的分析结果。

例2假设f(x)在闭区间?a，b?上连续，则存在一列多项式B1(x),B2(x),收敛于函数f(x)。

证明：不妨设a=0，b=1。可引入新的变量u：x=(b?a)u?a，使u?[0,1]，那么

由f(x)在[a，b]上连续可知f(x)在[0,1]上一致连续且有界。即对于任意?>0，存在?>0，只要x1?x2

,一致

?2，其中x1，x2?[0,1]，

此外，对于任意x?[0,1]，有f(x)?k（k为常数）。 设随机变量?1，?2??n服从二项分布，则可建立多项式： Bn(x)=Ef( =

1?) nnm?0?nmmmf()Cnx(1?x)n?m n其中x?[0,1]，参数n?1。显然Bn(0)= f(0)，Bn(1)= f(1)。由贝努力大数定律知：

limp?n????n??x????1，x?[0，1]。

??n由于

?nmmCnx(1?x)n?m=1，

m?011

故有：

Bn(x) —f(x)=

mmm[f()?f(x)]Cnx(1?x)n?m ?nm?0n??=

nf(m?0mmm)?f(x)Cnx(1?x)n?m nm?x??n?mmmf()?f(x)Cnx(1?x)n?m+nm?x??n?mmmf()?f(x)Cnx(1?x)n?m n<

?+2k2??n??mmn?m?x??=+2kPcx(1?x)??。 ?n2m??n?x??n?np?x，可见存在N，使当n>N时， 而对于任意x?[0,1]，n??n???x????P?，

4kn??从而，当n>N时，对于一切x?[0,1]，有：

Bn(x)?f(x)<

?2??4k?2k=

??+=? 22即Bn(x)关于x?[0,1]一致收敛于f(x)。

从上可以看出大数定律在极限、重积分、级数以及多项式逼近中都有重要应用，其实概率论学科和数学分析只见是相互渗透的，大数定律在数学理论中的应用也不仅仅这么狭窄，它在求很多高等数学的问题上也有很好的催化作用，大数定律在信息论中也有不俗的表现，比如在信息序列的渐近等分性质就是一个体现。下面主要看大数定律在实际生活中的精彩的表现，它涉及到很多与我们贴身的行业。

3、大数定律在保险业的应用 保险动机的产生

现代保险业已经是社会非常重要的一环，而大数定律就是这大厦最重要的基石之一，下面就看看大数定律是如何撑起这座保险业大厦的。

保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的社会机制。但是保险业的产生不仅仅是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱使，有利润才能保证保险业真正的发展下去，壮大起来。同时大数定律不仅仅用于计算保险公

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