几何学概论期末试题及答案综述

??15?,1)?0 SP=(2,2?1???21???2?x1?????20??x2??3x1?210x2?4x3?0 5分

??x?03??3??0 （2） 因为直线[1，4，1] 在二级曲线上所以切点方程为

?100??u1?????0??u2??u1?4u2?17u3?0 10分 TL=(1,4,1)?01?00?17??u????3?

八、证明：

（1）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应线的交点在一条线上。 3分 （2）如图 O A

B

C

L M N

C1 B1

A1

因为OAA1共线，所以O?kA?k1A1 同理 O?mB?1m1,BO?nC?1 n1C 故有kA?k1A1?(mB?m1B1)?0 即kA?mB?m1B1?k1A1?L 同理 mB?nC??(m1B1?n1C1)?MnC?kA??(n1c1?k1A1)?N

三式相加得 L?M?N?0 所以三点共线。 10分

九、解： (1)P点的极线为：

?223??x1?????SP=(1,2,1)?200??x2??9x1+2x2+4x3=0 5分

?301??x????3? （2）设直线的极点为(a,b,c)则有

?223??a??3?1?????? ?200??b????1? 解方程组可得极点(2,?,?6) 10分

2?301??c??6???????十、证明：如图

A D P C B E

ABCD为圆内接正方形，P为圆上任意点。因为AD?AB所以PA为角DPB的平分线。 同理可证明PC是角EPB平分线。即PA,PC是角DPB的内外角平分线。 所以直线

PD,PA,PB,PC构成调和线束。 10分

高等几何标准答案（C）

一、 填空题：(每题3分共15分)

1、2x?y?1?0 2、（1，0，0），（0，1，0）

3、2x1?x3?0 4、-1，3 5、u1?4u2?17u3?0 二、判断题：（每题2分共10分） 1、 对 ， 2、错， 3、对， 4、对， 5、错

''??x1'?2x1?x2三、解：变换化为齐次坐标形式：? 3分 '?x?x?3x?212 将坐标原点（0，1），无穷远点（1，0）代入得对应点分别为：

（-1，3）和（2，1） 7分

四、解：由题意得d?a?c 设b?a?kc 则

(ab,cd)?k 3分 而(ac,bd)?1?(ab,cd)?1?(?)? b?2x1?2x2?x3?2355 所以k? 335(x1?x2?x3)?0 3 整理得：11x1?2x2?2x3?0 8分 五、解：在直线上建立适当坐标系使A,B,C的坐标分别为

A(0,1),B(1,1),C(1,0) 3分 则有 A(0,1)?B(1,1),B(1,1)?C(1,0),C(1,0)?A(0,1)

??x1'?a11x1?a12x2 设变换为? 将坐标代入可求得 '??x2?a21x1?a22x2??x1'?x2 ? 7分 '?x??x?x?212 非齐次形式为：xx?x?1?0

因方程 x?x?1?0无实数解 所以变换是椭圆形。 10分 六、证明：

设两直线为：a:y?k1x?b1,b:y?k2x?b2

2''?x?ax'?by'?c22a?b?0 相似变换为：? ''?y??bx?ay?d将变换代入直线a的方程得：k1?'k1a?bka?b 5分 同理可得k2'?2a?k1ba?k2bk2'?k1'k2?k1'' 即tan?a,b??tan?a,b? 即两直线的夹角是相似群的不变??''1?k2k11?k2k1量 10分 七、解：

1??由特征方程：

100031??0?0得（1-?）?0即??1 4分 01???0x1?x2?0? 将??1代入方程组?0x2?0 得x2?0 ,故x2?0上的点都是不变点

?0x?03?x2?0时不变点列。 10分

八、对任意一个内接于非退化二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。

证明： 如图 A1 A5

E A3 F N L M

A4 A6

A2

对应边交点分别为L,M,N，以A1,A3为射心 A1(A4,A2,A6,A5)与A3(A4,A2,A6,A5)成射影对应，而A1(A4,A2,A6,A5)与点列(A4,L,E,A5)成透视对应 A3(A4,A2,A6,A5与点列)(F,M,A6,A5)成透视对应

所以点列(A4,L,E,A5)与(F,M,A6,A5)成射影对应。而A5位自对应点，所以两点列成透视对应。 故对应点连线共点。

LM上。 10分 即A4F,LM,EA6共点， A3A4与A1A6交点N在

九、解：通过直线a[1,3,1],b[1,5,?1]的交点的直线的线坐标为

[1?k,3?5k,1?k] 2分 若此直线属于二阶曲线则有 4(1?k)?(3?5k)?2(1?k)?0

2 即 27k?42k?11?0 解得k??,k??2221311 9所求直线的坐标 [1,2,2]和[-1,-14,10] 10分 十、证明：E,F为自对应元素，P与P1对应 则有(PP1,EF)?1,EF)?(PP1,EF) 而 (PP1

(PP1,EF) 所以(PP1,EF)?12 得 (PP1不重合 1,EF)?1 因为P,P(PP,EF)1 故(PP1,EF)??1 10分