几何学概论期末试题及答案综述

四、（8分）已知直线a,c,d的方程分别为2x1?x2?x3?0,x1?x2?x3?0，x1?0 且

2(ab,cd)??求直线b的方程。

3五、（10 分）已知同一直线上的三点A,B,C求一射影变换使此三点顺次变为B,C,A并判断变换的类型， 六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。

??x1'?x1?x2?'七、（10分）求射影变换??x2?x2的不变点坐标

??x'?x33?八、（10分）叙述并证明帕斯卡定理

九、（10分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5,?1]交点且属于二级曲线 4u12?u22?2u32?0的直线

十、（10分）试证:双曲型对合的任何一对对应元素 P?P,与其两个二重元素E,F调和共轭即(PP',EF)=-1 [参考答案]

'高等几何标准答案（A）

一、 填空题：（每空3分共15分）

1、单比，交比 2、（1,-3,0） 3、x3?0 4、2???5(???)?12?0 5、12x1?7x2?26x3?0

二、判断题（每题2分共10分）

1、错，2、错，3、对，4、错，5、对

三、解：在直线x?2y?1?0上任取两点A(1,0),B(?1,1) 2分 由A(1,0)?A(1,0),B(?1,1)?B(?1,1),(1,?1)?(?1,2)

''?x'?a11x?a12y?a13设仿射变换为?' 将点的坐标代入可解得

?y?a21x?a22y?a23?x'?2x?2y?1? ?'33 7分 ?y??x?2y??22132?12?0 所以三点共线 4分 0?5四、证明：因为?11 由：t?s?3,2t?s?0,?t?2s??5 解得 t?1,s??2 所以 ci?ai?2b1,(i?1,2,3) 8分 五、证明：令x?x由x?''3x?2得x2?x?2?0 解得x1?1,x2??2 x?4 即有两个 自对应点 4分

3k?25' 对应，有((1)(?2),kk)?为常数 10分 k?422 注：结果 有也对，不过顺序有别。

5 设k与k?'六、证明：设两直线为：a:y?k1x?b1,b:y?k2x?b2

?x?ax'?by'?c22 相似变换为：? a?b?0 ''?y??bx?ay?d 将变换代入直线a的方程得：k1?'k1a?bka?b 5分 同理可得k2'?2a?k1ba?k2bk2'?k1'k2?k1'' 即tan?a,b??tan?a,b? ??''1?k2k11?k2k1 即两直线的夹角是相似群的不变量 10分 七、解：（1）设（5，1，7）为P点坐标， 二阶曲线矩阵为

?2?3?1??? A=??33?2?

??1?21???所以点P的极线为SP=0

?2?3?1??x1?????即 SP?(5,1,7)??33?2??x2??0得 x2=0 5分

??1?21??x????3? （2）略

八（在后边）

九、解：通过直线a[1,3,1],b[1,5,?1]的交点的直线的线坐标为

[1?k,3?5k,1?k] 2分 若此直线属于二阶曲线则有 4(1?k)?(3?5k)?2(1?k)?0

2222 即 27k?42k?11?0 解得k??,k??1311 10分 9十、解：设P?A?k1B,Q?A?k2B,R?A?k3B

(PA,QB)??1,得(PA,QB)?1?(PQ,AB) 由 k(AB,PQ)?(PQ,AB)?2?1,k1?2k2k2 由(qr,ab)??1,得(AB,QR)?k2??1?k3??k2 k3 所以(PR,AB)?(AB,PR)?k1??2 10分 k3

八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。 4分

证明; 如图三点形ABC与A1B1C1的三对应边交点L,M,N共线，证明对应顶点连线共点,考虑三点形BLB1与CMC1则有对应顶点连线共点N ，故对应边的交点A,A1,0共线

O

A B

C

L M N

C1 B1

A1

高等几何标准答案（B）

一、 填空题：（每题3分共15分） 1、(? 4、

1,?2), 2、两条直线确定一个交点，3、(2,-1,2) 21 5、如果P点的极线过点Q则Q点的极线也过P点。 2二、 判断题：（每题2分共10分）

1、错，2，对， 3、错， 4、对 ， 5、对

三、解：过A,B的直线方程为：x?9y?15?0 2分

直线AB与x?3y?6?0的交点为P(,) 4分 所以 (ABP)??1 7分

3322?x'?x?a四、 证明：设平移变换的表达式为 T: ?'

y?y?b? 设任意两个平移变换为：

'???x'?x?a1?a2?x?x?a1?x?x?a2 T1? 仍为一个平移变换 4分 ,T2?'则T2T1:?'??y?y?b1?b2?y?y?b1??y?y?b2'?x?x'?a?1?x?x?a 又对任意变换T:? 也是一个平移变换 则T:?''?y?y?b?y?y?b 所以平移变换的集合关于变换的乘法构成群。 8分

五、 解：方程转化为齐次坐标形式：

2x1?x2?x3?0,3x1?x2?2x3?0,7x1?x2?0,5x1?x3?0 2分

2?1 3131?21?2?0且7?10?0 所以四直线共点。 6分 7?1050?11 10分 2 因为：L3?2L1?L2,L4?L1?L2 所以：(L2L1,L3L4)?2故(L1L2,L3L4)?六、 证明：如图

A G

D H P R

M

C

B E

考虑三点形PEH与RGM则GH平行BC，RM也平行BC所以GH与RM相交于无穷远处。同理HE与GM,PE与GR相交于无穷远处。故共线。有的萨格定理，三点形对应顶点连线共点。即PR,GE,HM相交于一点。 10分 七、（1）因为点P在二阶曲线上，所以切线方程为：