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2016年全国高考数学专题14利用空间向量求解立体几何中的角和距离

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解法二:取CD的中点E,以O为原点,OE,OB,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O?xyz.不妨设AD?1,则AB?2,所以B(0,1,0),C(1,1,0),

D(1,?1,0),P(0,0,2),从而PC?(1,1,?2),CD?(0,?2,0).

设平面PCD的法向量为n1?(x1,y1,z1),

???PC?n1?0?x?y1?2z1?0由?,得,?1

????2y1?0?CD?n1?0可取n1?(2,0,1).

同理,可取平面PCB的一个法向量为n2?(0,?2,?1). 于是cos?n1,n2??n1?n21??,

|n1|?|n2|31. 3所以二面角D?PC?B的余弦值为?

【考点】本题主要考查:1.线面垂直的判定;2.二面角的求解.

【名师点睛】注意空间直线与直线的垂直关系与直线与平面垂直的转化,利用空间向量求空间角时,尽可能建立易于确定点的坐标的坐标系,若点的坐标不确定,可引入 参数设点. 【母题10】.如图,四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为矩形,PA?底面ABCD,

PA?AB?2,点E是棱PB的中点.

(1)证明:AE?平面PBC;

(2)若AD?1,求二面角B?EC?D的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2)?3. 3

(2)解:设平面BEC的法向量为n1,由(Ⅰ)知,

?22?AE⊥平面BEC,故可取n1?EA???0,???2,?. 2??设平面DEC的法向量n2?(x2,y2,z2),则n2?DC?0,n2?DE?0. 由|AD|?1,得D(010),,,C(210),,,

?x2?0,22?从而DC?(2, 0,,0)DE?(,?1,),故?2222x2?y2?z2?0.??22所以x2?0,z2?2y2,可取y2?1,则n2?(01,,2).

从而cos?n1,n2??n1?n13. ??|n1|?|n2|33. 3所以二面角B?EC?D的平面角的余弦值为? z P E A D y C B x

【考点】直线与平面垂直的判定;二面角的求解.

【名师点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有:一是利用线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理.在解题时,要注意线线、线面与面央关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,利用空间向量求二面角,通过建立空间直角坐标系,用坐标表示点,用法向量表示平面,通过求法向量夹角来确定二面角大小.

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解法二:取CD的中点E,以O为原点,OE,OB,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O?xyz.不妨设AD?1,则AB?2,所以B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,?1,0),P(0,0,2),从而PC?(1,1,?2),CD?(0,?2,0). 设平面PCD的法向量为n1?(x1,y1,z1), ???PC?n1?0?x?y1?2z1?0由?,得,?1 ????2y1?0?CD?n1?0可取n1?(2,0,1). 同理,可取平面PCB的一个法向量为n2?(0,?2,?1). 于是cos?n1,n2??n1?n21??, |n1|?|n2|31. 3所以二面角D?PC?B的余弦值为? 【考点】本题主要考查:1.线面垂直的判定;2.二面角的求解.

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