2016年全国高考数学专题14利用空间向量求解立体几何中的角和距离

【母题7】（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱??C??1?1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．

（1）求证：平面??1D?平面???1?1；

（2）求平面??1D与平面??C所成二面角（锐角）的大小． 【答案】（1）证明祥见解析；（2）

?． 4

得AB1?(?3aa3aaa,?,a),AD?(?,,) 22222设n?(1,x,y)为平面AB1D的一个法向量．

（此题用射影面积公式也可；传统方法做出二面角的棱，可得?B1AB即为所求） 【考点】1、平面与平面垂直的判定；2、与二面角有关的立体几何综合题．

【方法点晴】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．证明平面与平面垂直主要转化为证明一个平面内的一条直线与另一个平面垂直即可，而证明直线与平面垂直，只需证明此直线与平面图内的两条相交直线垂直；求二面角的大小新教材主要要求学生掌握用空间向量的方法来求：第一步建立适当的空间直角坐标系，并设出点的坐标；第二步分别求出二面角的两个面的一个法向量；第三步代公式

cosm,n?|m?n|mn即可求得，注意运算的准确性．

【母题8】．如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，PA?AB?AD?2，四边形ABCD满足AB?AD,BC//AD且BC?4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点，且

BE??. EC

（1）求证：平面ADM?平面PBC；

（2）是否存在实数?，使得二面角P?DE?B的余弦值为值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）??3或??2？若存在，试求出实数?的31. 3

【名师点睛】本题主要考查面面垂直的证明和用向量求二面角的综合运用，属于中档题．证明面面垂直常用的方法：通过线面垂直证明面面垂直，关键是找准其中一个平面存在一条直线垂直另一个平面．利用空间向量求二面角，主要是点的坐标的确定和法向量求解结果正确． 【母题9】如图，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAB?底面ABCD，底面ABCD为矩形，

PA?PB，O为AB的中点，OD?PC.

（1）求证：OC?PD；

（2）若PD与平面PAB所成的角为300，求二面角D?PC?B的余弦值. 【答案】（1）证明详见解析；（2）?1. 3