2016年全国高考数学专题14利用空间向量求解立体几何中的角和距离

【考点】1、线面平行的判定定理；2、空间向量法求二面角．

【方法点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理和空间向量法求空间二面角的大小，考查学生综合应用知识的能力和空间想象能力，属中档题．对于第一问证明线面平行，其解题的关键是根据已知条件在所求平面内找到一条直线与已知直线平行；对于第二问运用空间向量法求空间二面角，其解题的关键是正确地运用空间向量求出该二面角对应的两个法向量，并运用公式cos?n1,n2??n1?n2即可得出所求的答案．

|n1|?|n2|【母题5】如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，四边形AAC11C是边长为4的正方形，平面

ABC?平面AACAB?3，BC?5. 11C，

（Ⅰ）求证：AA1?平面ABC；

（Ⅱ）若点D是线段BC的中点，请问在线段AB1是否存在点E，使得DE若存在，请说明点E的位置，若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角C?A1B1?C1的大小.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）当点E是线段AB1的中点时，有DE面AAC（Ⅲ）45?． 11C；

面AAC11C？

【考点】1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．

【名师点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 【母题6】如图，四棱锥P-ABCD中，底面

ABCD为菱形，且PA?PD?DA?2，

?BAD?600．

P

D A

B C

（Ⅰ）求证：PB?AD；

（Ⅱ）若PB?6，求二面角A?PD?C的余弦值。

【答案】（1）证明见解析；（2）?5． 5【解析】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE,BE,BD． ∵PA?PD?DA，四边形ABCD为菱形，且?BAD?60， ∴?PAD和?ABD为两个全等的等边三角形， 则PE?AD,BE?AD,

∴AD?平面PBE，又PB?平面PBE， ∴PB?AD；

0（Ⅱ）解：在?PBE中，由已知得，PE?BE?3，PB?6，

【考点】1．空间中垂直关系的转化；2．利用空间向量求二面角．

【方法点睛】本题考查空间中垂直关系的相互转化及空间向量在立体几何中的应用，属于中档题；在考查立体几何问题时，往往将传统几何和空间向量结合在一起，先判定空间中的线线、线面的平行或垂直关系，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．