2016年全国高考数学专题14利用空间向量求解立体几何中的角和距离

因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝

1BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD． 2又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，

【考点】直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．

【名师点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据BE?平面

PBC，可以确定?FEB为直线EF与平面PBC所成的角，可放置在Rt?EBF中，即计算

直线EF与平面PBC所成的角的正弦值．

DE?AB于点E，【母题3】如图1，在边长为4的菱形ABCD中，将?ADE?BAD?60，

沿DE折起到?A1DE的位置，使A1D?DC，如图2.

（1）求证：A1E?平面BCDE； （2）求二面角E?A1B?C的余弦值；

（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP?平面A求出1BC？若存在，值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）?EP的PB7；（3）不存在，理由见解析 7

（3）假设在线段EB上存在一点P，使得平面A设Pt(,0,0)(01DP?平面A1BC，

2?)t?，

则A1DP的法向量为p?(x1,y1,z1)，由1P?(t,0,?2)，A1D?(0,23,?2)，设平面A?t?23y1?2z1?0,t)，∵平面，令x1?2，得p?(2,A1D?p?0，A1P?p?0，得?3??tx1?2z1?0A1DP?平面A1BC，∴m?p?0，即23?t?3t?0，解得t??3， 3∵0?t?2，∴在线段EB上不存在点P，使得平面A（12分 ） 1DP?平面A1BC．【考点】1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．

【名师点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系．

【母题4】如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD?平面ABCD，且FD?3．

FECDBA

（Ⅰ）求证：EF//平面ABCD；

（Ⅱ）若?CBA?60?，求二面角A?FB?E的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角A?FB?E的余弦值是?7． 8