2012-2013(1)概率论与数理统计解答

一. 填空题：（每题3分，共15分）

1. 设A、B为两事件，P（A）= 0.7，P（B）= 0.6，A?B，则P(AB)= 0.25 . 2. 若随机变量X在[0，1]上服从均匀分布，Y = 2X +1 的概率密度为：

?1?,1?y?3fY(y)??2?其它?0,?ce?(2x?3y),x?0,y?03若随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)?? ，则C =

0,其他?6 。

4. 若随机变量X 服从参数为2指数分布X ~e（2），则E(X?X)= 1 . 5. 若随机变量X的数学期望与方差分别为EX = 1，DX = 1，且 P{X?1??}?切比雪夫不等式，?应满足0???21，根据423。 3

二. 选择题：（每题3分，共15分）

1. 设A、B、C为三事件，则AB?BC?AC表示 ..... D．A、B、C至多发生一个

?4x3,0?x?12.设随机变量X的密度函数为f(x)??，则使P（X > a）= P（X < a）成立，

?0,其他a为 ..........................A．2

?14

?1/?,x2?y2?13. 若随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)?? ，则X与Y的随机

?0，其它变量 ........................C．不独立同分布 .. 4．设随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a，b的值为..... B．a= 1，b= 5

5.若X1,X2,?,Xn是取自总体N(?,?)的一个样本，?已知，?未知，则以下是统计量的是 .................... A．

2?(Xi?1ni?X)2/?

三.判断题：（每题2分，共10分）

1. 若A与B互斥，则P（AB）= 0。 （ 对 ） 2. 若F(x)是连续变量X的分布函数，则

???? （ 错 ） F(x)dx?1。

3. 若（X，Y）的联合概率函数与边缘概率函数之间存在关系式P(xi,yj)?PX(xi)?PY(yj)，则X与Y独立。 （ 对 ） i、j?1,2,? ，

4. 若随机变量X与Y独立，则有D(XY)?DX?DY。 （ 错 ） 5. 若X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单随机样本，则X1与X2同分布。 （ 对 ）

四|．计算题：（每题10分，共60分）

1. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P

（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知

P(A)P(BA)P(AB)（1）P(AB)? ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.2?0.11??0.02702

0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) P(AB)?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.8?0.14??0.3077

0.8?0.1?0.2?0.913 ?即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

2. 从五个数1，2，3，4，5中任取3个数x1，x2，x3，求：（1）随机变量X?max{x1，x2，x3}的概率分布；（2）随机变量X的分布函数；（3）P{X?4}。 解：（1）X的可能值是3，4，5. 易知

21C2C11P(X?3)???0.13C5101C32C13P(X?4)???0.3, 3C51021C4C16P(X?5)???0.63C510因此，所求的概率分布为

X 3 4 0.3 i 5 0.6 P（xi） 0.1 （2）根据 F(x)?P{X?x}?xi?x) ?px( 得

?0,x?3?0.1,3?x?4? F(x)??（注意区间分段）

0.4,4?x?5???1,x?5（3）故所求的概率为

P{X?4}?P{X?3}?P{X?4}?0.1?0.3?0.4

3. 设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=?

?1,?0,y?x,0?x?1,其他.

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

题3图

【解】fX(x)??????f(x,y)dy

x??1dy?2x,0?x?1, ????x

?其他.?0,

fY(y)???????11dx?1?y,?1?y?0,???y??1f(x,y)dx???1dx?1?y,0?y?1,

y?其他.?0,??所以

?1f(x,y)?,|y|?x?1,（注意区间分段） fY|X(y|x)???2xfX(x)?其他.?0,?1?1?y, y?x?1,?f(x,y)?1??,?y?x?1, fX|Y(x|y)?fY(y)?1?y?0,其他.??

4. 设随机变量X的概率密度为

1?xf(x)?e,???x???

2 求随机变量X的数学期望EX与方差DX。 解：由题设可得

EX????????x?f(x)dx

1?x??x?edx?0??2（偶函数在对称区间上的数学期望均为0）

????1?xEX2??x2?f(x)dx??x2?edx????2????0x2?e?xdx??(?x2)de?x02?x??0???(?x)e?0????0??0??e?xd(?x2)0??0??

2xedx?2?(?x)de?x?x?2?e?xdx?2DX?EX2?(EX)2?2?0?2

5．设总体X的概率密度为