步步高选修2-2第二章 习题课 综合法

学习目标 加深对综合法、分析法的理解，灵活运用两种方法证明数学问题．

知识点一 综合法

定义 利用已知条件和某些数学定义、公推证过程 P?Q1―→Q1?Q2―→Q2?Q3―→?特点 顺推证法或由因导果法 理、定理等，经过一系列的推理论―→Qn?Q 证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法

知识点二 分析法

定义 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法

知识点三 分析综合法

Q?P1―→P1?P2―→P2?P3―→?―→得到一个明显成立的条件 推证过程 特点 (P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论 逆推证法或执果索因法 分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推．因此常将二者交互使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：

P?P1→P1?P2→?→←?←Q2?Q1←Q1?Q

Pn?P′ ?

Q′?Qm

其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．

类型一 利用综合法与分析法解决函数问题

1

例1 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f(x＋)

2为偶函数．

1

证明 方法一 要证f(x＋)为偶函数，

2只需证明其对称轴为x＝0， b1

即证－－＝0，

2a2只需证a＝－b.

∵函数f(x＋1)的对称轴x＝－b

，∴a＝－b. 2a

1

∴f(x＋)为偶函数．

21

方法二 记F(x)＝f(x＋)，

2

欲证F(x)为偶函数，只需证F(－x)＝F(x)， 11

即证f(－x＋)＝f(x＋)．

22

∵函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，而函数f(x)与f(－x)的图象也是关于y轴对称的， ∴f(－x)＝f(x＋1)，

111

∴f(－x＋)＝f[－(x－)]＝f(x＋)．

2221

∴f(x＋)为偶函数．

2

反思与感悟 有关函数的证明问题，往往与函数的性质结合起来，注意有时要构造函数，通过求导，确定单调性，进而得证．

－b－b－b

－1与函数f(x)的对称轴x＝关于y轴对称，∴－1＝－2a2a2a

3

跟踪训练1 设f(x)＝lnx＋x－1，证明：当x>1时，f(x)<(x－1)．

23

证明 记g(x)＝lnx＋x－1－(x－1)，

2113

则当x>1时，g′(x)＝＋－<0.

x2x2又g(1)＝0，故当x>1时，g(x)<0， 3

即f(x)<(x－1)．

2

类型二 利用综合法与分析法解决数列问题

例2 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：ac＋＝2. xy

证明 由已知条件得b2＝ac， 2x＝a＋b,2y＝b＋c. ac

要证＋＝2，

xy只需证ay＋cx＝2xy， 只需证2ay＋2cx＝4xy.

由①②得，2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc， 4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc， 所以2ay＋2cx＝4xy.原式得证．

跟踪训练2 不相等的三个数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( ) A．成等比数列，而非等差数列 B．成等差数列，而非等比数列 C．既成等差数列又成等比数列 D．既非等差数列又非等比数列 答案 B

解析 由a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c. ① ∵x是a，b的等比中项，∴x2＝ab. 又y是b，c的等比中项，∴y2＝bc. 由①②③得，2b2＝ab＋bc， 即2b2＝x2＋y2，

∴x2，b2，y2成等差数列，

又∵a≠b≠c，∴x2，b2，y2不成等比数列．

② ③

① ②

类型三 综合法与分析法在三角形中的应用

1－tan2απ2

例3 已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sinβ.求证：＝

21＋tan2α1－tan2β

. 2?1＋tan2β?

1－tan2α1－tan2β

证明 要证＝成立，

1＋tan2α2?1＋tan2β?sin2αsin2β1－21－2cosαcosβ

只需证＝，

sin2αsin2β1＋22?1＋2?cosαcosβ1

即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，

21

即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，

2即证4sin2α－2sin2β＝1.

因为sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β， 所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝4sin2α， 所以1＋2sin2β＝4sin2α，即4sin2α－2sin2β＝1. 故原结论正确．

1

跟踪训练3 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：a＋b＋

13＝. b＋ca＋b＋c

a＋b＋ca＋b＋c

证明 要证原式，只需证＋＝3，

a＋bb＋cbc＋c2＋a2＋abca

即证＋＝1，即只需证＝1，

a＋bb＋cab＋b2＋ac＋bc而由题意知A＋C＝2B，且A＋B＋C＝π， π

∴B＝，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，

3bc＋c2＋a2＋abbc＋c2＋a2＋ab∴＝ ab＋b2＋ac＋bcab＋a2＋c2－ac＋ac＋bcbc＋c2＋a2＋ab＝＝1， ab＋a2＋c2＋bc

113

∴原等式成立，即＋＝.

a＋bb＋ca＋b＋c