三年高考两年模拟版高考数学专题汇编第九章平面解析几何6文

第六节 直线与圆锥曲线的位置关系

A组 三年高考真题（2016～2014年）

1.(2015·四川，10)设直线l与抛物线y＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)＋y＝r(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 2.(2016·新课标全国Ⅱ，21)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交

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2

2

2

2

x2y2

E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积. (2)当2|AM|＝|AN|时，证明：3

3.(2016·新课标全国Ⅲ，20)已知抛物线C：y＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，

2

l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

x2y2

4.(2016·北京，19)已知椭圆C：2＋2＝1，过点A(2，0)，B(0，1)两点.

ab (1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点

N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

x2y2

5.(2016·山东，21)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为22.

ab(1)求椭圆C的方程；

(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段

PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.

①设直线PM、QM的斜率分别为k、k′，证明 ②求直线AB的斜率的最小值.

k′

为定值. kx2y2

6.(2016·四川，20)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形

ab

1

1??的三个顶点，点P?3，?在椭圆E上. 2?? (1)求椭圆E的方程；

1

(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，

2直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.

x2y25

7.(2015·天津，19)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.

ab5

(1)求直线BF的斜率；

(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|. ①求λ的值；

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②若|PM|sin∠BQP＝，求椭圆的方程.

9

8.(2015·北京，20)已知椭圆C：x＋3y＝3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M. (1)求椭圆C的离心率；

(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.

2

2

x2y2

9.(2015·江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心

ab率为2

，且右焦点F到左准线l的距离为3. 2

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC＝2AB，求直线AB的方程.

10.(2015·湖北，22)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转

2

动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1) 求椭圆C的方程；

(2) 设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

x2y2

11.(2015·山东，21) 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为

ab1?3?，且点?3，?在椭圆C上. 2?2? (1)求椭圆C的方程；

x2y2

(2)设椭圆E：2＋2＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，

4a4bB两点，射线PO交椭圆E于点Q.

|OQ|

(ⅰ)求的值；

|OP|

(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.

y2x2

12..(2015·湖南，20)已知抛物线C1 ：x＝4y的焦点F也是椭圆C2：2＋2＝1(a>b>0)的一

ab2

个焦点.C1 与C2的公共弦的长为26.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，

D两点，且AC与BD同向.

(1)求C2的方程；

(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率.

→→

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