(课标通用)甘肃省2019年中考数学总复习优化设计单元检测(五)四边形

(1)求证:△AOE≌△COF;

(2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由. (1)证明∵OA=OC,OB=OD,

∴四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,

∠??????=∠??????,

在△AOE和△COF中,{????=????,

∠??????=∠??????,

∴△AOE≌△COF(ASA).

(2)解结论:四边形BEDF是菱形,

∵△AOE≌△COF,∴AE=CF, ∵AD=BC,∴DE=BF,∵DE∥BF, ∴四边形BEDF是平行四边形, ∵OB=OD,EF⊥BD,∴EB=ED, ∴四边形BEDF是菱形.

21.(10分)(2018贵州安顺)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.

(1)求证:AF=DC;

(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论. (1)证明∵AF∥BC,

∴∠AFE=∠DBE,

∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线, ∴AE=DE,BD=CD,

在△AFE和△DBE中

∠??????=∠??????,{∠??????=∠??????, ????=????,

∴△AFE≌△DBE(AAS), ∴AF=BD,∴AF=DC.

(2)解四边形ADCF是菱形,

证明:AF∥BC,AF=DC,

∴四边形ADCF是平行四边形, ∵AC⊥AB,AD是斜边BC的中线, ∴AD=2BC=DC,

∴平行四边形ADCF是菱形.

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22.(10分)(2018江苏连云港)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.

(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;

(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由. (1)证明∵四边形ABCD是矩形,

∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE, ∵E是AD的中点,∴AE=DE,

又∵∠FEA=∠CED,

∴△FAE≌△CDE(ASA), ∴CD=FA,

又∵CD∥AF,

∴四边形ACDF是平行四边形;

(2)解BC=2CD.

证明:∵CF平分∠BCD,

∴∠DCE=45°, ∵∠CDE=90°,

∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE, ∵E是AD的中点,∴AD=2CD, ∵AD=BC, ∴BC=2CD.

23.(10分)(2018山东潍坊)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥

AM于点F,连接BE.

(1)求证:AE=BF;

(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值. (1)证明∵四边形ABCD为正方形,

∴BA=AD,∠BAD=90°,

∵DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F, ∴∠AFB=90°,∠DEA=90°,

∵∠ABF+∠BAF=90°,∠EAD+∠BAF=90°,∴∠ABF=∠EAD,

∠??????=∠??????,

在△ABF和△DAE中{∠??????=∠??????,

????=????,

∴△ABF≌△DAE(AAS), ∴BF=AE;

(2)解设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,

∵四边形ABED的面积为24,

∴2·x·x+2·x·2=24,解得x1=6,x2=-8(舍去), ∴EF=x-2=4,在Rt△BEF中,BE=√42+62=2√13, ∴sin∠EBF=????=2√13=

????42√1313

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1

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2

24.(12分)(2018四川自贡)如图,抛物线y=ax+bx-3过A(1,0),B(-3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点.

(1)求直线AD及抛物线的解析式;

(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?

(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.

??+??-3=0,解得{??=1,

解(1)把(1,0),(-3,0)代入函数解析式,得{

9??-3??-3=0??=2

抛物线的解析式为y=x+2x-3;

当x=-2时,y=(-2)+2×(-2)-3,解得y=-3,即D(-2,-3). 设直线AD的解析式为y=kx+b,将A(1,0),D(-2,-3)代入,得

2

2

??+??=0??=1,直线AD的解析式为y=x-1;

{,解得{-2??+??=-3??=-1

(2)设P点坐标为(m,m-1),Q(m,m+2m-3),l=(m-1)-(m+2m-3) 化简,得l=-m-m+2

配方,得l=-m+2+4,当m=-2时,l最大=4; (3)DR∥PQ且DR=PQ时,PQDR是平行四边形, 由(2)得0

91

2

2

2

2

919

∴PQ=1,或PQ=2.

当PQ=1时,DR=1,-3+1=-2,

即R(-2,-2),

-3-1=-4,即R(-2,-4);

当PQ=2时,DR=2,-3+2=-1, 即R(-2,-1),

-3-2=-5,即R(-2,-5),

综上所述:R点的坐标为(-2,-2),(-2,-4),(-2,-1),(-2,-5),使得以P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形.