2017年全国统一高考数学试卷理科新课标ⅲ【新品】

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

【分析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO=AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明． （2）设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则

=

．根据平面AEC把

四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得===1，即点E是

BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．

【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD． ∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．

△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． ∵△ACD是直角三角形， ∴AC是斜边，∴∠ADC=90°． ∴DO=AC．

∴DO2+BO2=AB2=BD2． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD．

又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．

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又OB?平面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC．

（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，

=

．

∴===1．

∴点E是BD的中点．

建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．

则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，E

．

=（﹣1，0，1），

=

，

=（﹣2，0，0）．

，即

，取，0），

设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则=

．

）．

同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，∴cos

=

=

=﹣．

．

∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为

【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角

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公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由

?

=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利

?

=0，则坐标原点O在圆M上；

用韦达定理及向量数量积的可得

方法二：设直线l的方程x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得（2）由题意可知：

?

?

=0，则坐标原点O在圆M上；

=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，

求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．

【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2）， 则∴

=（2，2），⊥

，

=（2，﹣2），则

?

=0，

则坐标原点O在圆M上；

当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），

，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，

则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0， 则y1y2=﹣4， 由则

?⊥

=x1x2+y1y2=0，

，则坐标原点O在圆M上，

综上可知：坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2，

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，整理得：y2﹣2my﹣4=0，A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1y2=﹣4，

则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则则

⊥

?

=x1x2+y1y2=0，

，则坐标原点O在圆M上，

∴坐标原点O在圆M上； （2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2=圆M过点P（4，﹣2），则由

?

，y1+y2=，y1y2=﹣4，

=（4﹣x2，﹣2﹣y2），

=（4﹣x1，﹣2﹣y1），

=0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，

整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1， 当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4， 则x1+x2=，y1+y2=﹣1，

则M（，﹣），半径为r=丨MP丨=∴圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=

．

=

，

当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2， 同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨=∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，

综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若 f（x）≥0，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+

）…（1+

）＜m，求

，

，

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