2017年全国统一高考数学试卷理科新课标ⅲ【新品】

不妨设图中所示正方体边长为1， 故|AC|=1，|AB|=

，

斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，

以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系， 则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量=（0，1，0），||=1， 直线b的方向单位向量=（1，0，0），||=1，

设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0）， 其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π）， ∴AB′在运动过程中的向量，=（cosθ，sinθ，﹣1），||=

，设

与所成夹角为α∈[0，

]，

则cosα==

|sinθ|∈[0，

]，∴α∈[，

]，∴③正确，④错误．

设与所成夹角为β∈[0，

]，

cosβ==

=

|cosθ|，

当与夹角为60°时，即α=

，

|sinθ|=

=

=

，

∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ=|cosθ|=，

∵β∈[0，

]，∴β=

，此时

与的夹角为60°，

∴②正确，①错误． 故答案为：②③．

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【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+a=2

，b=2．

cosA=0，

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出， （2）先根据夹角求出cosC，求出CD的长，得到S△ABD=S△ABC． 【解答】解：（1）∵sinA+∴tanA=

，

cosA=0，

∵0＜A＜π， ∴A=

，

由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA， 即28=4+c2﹣2×2c×（﹣）， 即c2+2c﹣24=0，

解得c=﹣6（舍去）或c=4， 故c=4．

（2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，

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∴16=28+4﹣2×2∴cosC=∴CD=

， =

=

×2×cosC，

∴CD=BC

∵S△ABC=AB?AC?sin∠BAC=×4×2×∴S△ABD=S△ABC=

=2，

【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

【分析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．

（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑

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200≤n≤500，根据300≤n≤500和200≤n≤300分类讨论经，能得到当n=300时，EY最大值为520元．

【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500， P（X=200）=P（X=300）=P（X=500）=∴X的分布列为：

X P

200 0.2

300 0.4

500 0.4

=0.2， ， =0.4，

（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶， ∴只需考虑200≤n≤500， 当300≤n≤500时，

若最高气温不低于25，则Y=6n﹣4n=2n；

若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n﹣300）﹣4n=1200﹣2n； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n， ∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n， 当200≤n≤300时，

若最高气温不低于20，则Y=6n﹣4n=2n，

若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n， ∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n． ∴n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题．

19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

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