2017年全国统一高考数学试卷理科新课标ⅲ【新品】

算能力．

6．（5分）设函数f（x）=cos（x+A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线x=C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（

），则下列结论错误的是（ ）

对称

，π）单调递减

【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．

【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确， B．当x=

时，cos（x+

）=cos（

+

）=cos

=cos3π=﹣1为最小值，

此时y=f（x）的图象关于直线x=C当x=为x=D．当错误， 故选：D．

时，f（

+π）=cos（

对称，故B正确， +π+

）=cos

=0，则f（x+π）的一个零点

，故C正确， ＜x＜π时，

＜x+

＜

，此时函数f（x）不是单调函数，故D

【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．

7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）

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A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论． 【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0， 要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”， 则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2， 要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”， 则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，

要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体， 此时N的最小值为2， 故选：D．

【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A．π

B．

C．

D．

【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r=积．

=，由此能求出该圆柱的体

【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球

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面上，

∴该圆柱底面圆周半径r=∴该圆柱的体积：V=Sh=故选：B．

=

， =

．

【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．

9．（5分）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ） A．﹣24

B．﹣3 C．3

D．8

【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6项的和．

【解答】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列， ∴

，

∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0， 解得d=﹣2， ∴{an}前6项的和为故选：A．

【点评】本题考查等差数列前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．

10．（5分）已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且

=

=﹣24．

以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）

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A． B． C． D．

【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离

=a，化简即可得出．

【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离

=a，化为：a2=3b2．

∴椭圆C的离心率e==故选：A．

=．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ） A．﹣ B． C． D．1

2的图象与y=a【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）（ex﹣1+

）

的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．

【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+=0，

所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+

）有唯一解，

）

）的图象只有一个交点．

①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；

②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

且y=a（ex﹣1+

）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

）的图

所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+

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