解析几何第四版吕林根课后习题答案第二章

x2?y2?z2?49

（3）由已知，球面的球心坐标a?2?4?3?15?3?3,b???1,c??1，球的半径222R?12(4?2)2?(1?3)2?(5?3)2?21，所以球面方程为： (x?3)2?(y?1)2?(z?1)2?21

（4）设所求的球面方程为：x2?y2?z2?2gx?2hy?2kz?l?0 因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?4)，所以

??l?0??16?8g?02g?6h?0 ?10???16?8k?0解（1）有

??l?0??h??1?g??2 ??k?2?所求的球面方程为x2?y2?z2?4x?2y?4z?0

§2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程

1、画出下列方程所表示的曲面的图形。 （1）4x2?9y2?36 解：各题的图形如下： （1）4x2?9y2?36

z y O x

1） （

§2.4 空间曲线的方程

221、平面x?c与x?y?2x?0的公共点组成怎样的轨迹。

解：上述二图形的公共点的坐标满足

?x2?y2?2x?0?y2?c(2?c) ????x?c?x?c从而：（Ⅰ）当0?c?2时，公共点的轨迹为：

??y?c(2?c) 及 ???x?c即为两条平行轴的直线；

（Ⅱ）当c?0时，公共点的轨迹为：

??y??c(2?c) ???x?c?y?0 即为z轴； ??x?0（Ⅲ）当c?2时，公共点的轨迹为：

?y?0 即过(2,0,0)且平行于z轴的直线； ??x?2（Ⅳ）当c?2或c?0时，两图形无公共点。

2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？

（1）x?y?16z?64； （2）x?4y?16z?64； （3）x?4y?16z?64； （4）x?9y?10z 解：（1）曲面与xoy面的交线为：

22222222222?x2?y2?16z2?64?x2?y2?64?? ??z?0?z?0此曲线是圆心在原点，半径R?8且处在xoy面上的圆。

同理可求出曲面x?y?16z?64与yoz面(x?0)及zox面(y?0)的交线分别为：

222?y2?16z2?64??x?0x轴上，且处在zox面上的椭圆；

?x2?16z2?64， ??y?0

它们分别是中心在原点，长轴在y轴上，且处在yoz面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在

（2）由面x?4y?16z?64与xoy面(z?0)，yoz面(x?0)，zox面(y?0)的交线

222分别为：

?x2?4y2?16z2?64?x2?4y2?16z2?64?x2?4y2?16z2?64,?,? ??z?0?x?0?y?0?x2?4y2?64?y2?4z2?16?x2?16z2?64亦即：?,?,?

?z?0?x?0?y?0即为中心在原点，长轴在x轴上，且处在xoy面上的椭圆；中心在原点，实轴在y轴，且处在yoz面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在x轴，且处在zox面上的双曲线。

（3）曲面x?4y?16z?64与xoy面(z?0)，yoz面(x?0)，zox面(y?0)的交线分别为：

222?x2?4y2?16z2?64?x2?4y2?16z2?64?x2?4y2?16z2?64,?,? ?z?0x?0y?0????x2?4y2?64??4y2?16z2?64?x2?16z2?64亦即?,?,?

?z?0?x?0?y?0即为中心在原点，实轴在x轴，且处在xoy面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在x轴上，且处在zox面上的双曲线。

（4）曲面x?9y?16z与xoy面(z?0)，yoz面(x?0)，zox面(y?0)的交线分别为：

22?x2?9y2?16z?x2?9y2?16z?x2?9y2?16z,?,? ??z?0?x?0?y?0?x2?9y2?0?9y2?16z?x2?16z亦即?,?,?

x?0z?0y?0???即为坐标原点，顶点在原点以z轴为对称轴，且处在yoz面上的抛物线，以及顶点在原点，以z轴为对称轴，且处在zox面上的抛物线。

3. 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。

?x2?z2?3yz?2x?3z?3?0?0?x2?y2?z?0（1）?;（2）?

y?z?1?0z?x?1??222??x?2y?6z?5?x?y?z?1（3）?（4）?2 22??3x?2y?10z?7?x?(y?1)?(z?1)?1?x2?y2?z?0解：（1）从方程组?

z?x?1?分别消去变量x,y,z，得：(z?1)?y?z?0

亦即： z?y?3z?1?0 （Ⅰ）

2222z?x?1?0 （Ⅱ）

x2?y2?x?1?0 （Ⅲ）

（Ⅰ）是原曲线对yoz平面的射影柱面方程； （Ⅱ）是原曲线对zox平面的射影柱面方程； （Ⅲ）是原曲线对xoy平面的射影柱面方程。 （2）按照与（1）同样的方法可得原曲线

（Ⅰ）对yoz平面的射影柱面方程；y?z?1?0；

（Ⅱ）对zox平面的射影柱面方程；x?2z?2x?6z?3?0； （Ⅲ）对xoy平面的射影柱面方程。x?2y?2x?2y?1?0。 （3） 原曲线对yoz平面的射影柱面方程：2y?7z?2?0

原曲线对zox平面的射影柱面方程：x?z?3?0 原曲线对xoy平面的射影柱面方程：7x?2y?23?0 （4） 原曲线对yoz平面的射影柱面方程：y?z?1?0

原曲线对zox平面的射影柱面方程：x?2z?2z?0 原曲线对xoy平面的射影柱面方程：x?2y?2y?0

22222222?y2?4z?06. 求空间曲线?的参数方程. 2?x?z?02 解: 令y?2t,代入方程y?4z?0得y?t再将所得结果代入方程x?z?0得

22?x??t?x??t4.从而知曲线的参数方程为?y?2t

?z?t2?4