江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题

D．选修4—5：不等式选讲

证明：证法一 因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，

2b＋14(2a＋1)14

所以(＋ )[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋＋

2a＋12b＋12a＋12b＋1

≥5＋2

2b＋14(2a＋1)

× ＝9． ……………8分 2a＋12b＋1

149

而 (2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以＋≥ ． …………… 10分

2a＋12b＋14 证法二 因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得 14

(＋ )[(2a＋1)＋(2b＋1)]

2a＋12b＋1 ≥(

1 2a＋1

2a＋1 ＋

4 2b＋1

2b＋1 )2

＝(1＋2)2＝9． …………… 8分 由a＋b＝1，得 (2a＋1)＋(2b＋1)＝4，

149

所以＋≥ ． ……………10分

2a＋12b＋14

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文．．．．．．．．

字说明、证明过程或演算步骤．

22．(本小题满分10分)

解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C36种不同选法， 其中S＝

3的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种， 2

3123

)＝3＝. ……………3分 2C65

3333，，. 424

所以P(S＝

（2）S的所有可能取值为 S＝

3

的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种， 4

363

)＝3＝. ……………5分 4C610

所以P(S＝

33 S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，

4

3321

所以P(S＝)＝3＝. ……………7分

4C610 又由（1）知P(S＝

3123

)＝3＝，故S的分布列为 2C65

S P 所以E(S)＝

23．(本小题满分10分)

3 43 103 23 533 41 10333333193×＋×＋×＝. ……………10分 4102541020

解：（1）若集合B含有2个元素，即B＝{a1，a2}， 则A＝?，{a1}，{a2}，则(A，B)的个数为3；

若集合B含有1个元素，则B有C2种，不妨设B＝{a1}，则A＝?， 此时(A，B)的个数为C2×1＝2.

综上，(A，B)的个数为5. …………3分 （2）集合M有2n子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，

则不同的有序集合对(A，B)的个数为2n(2n－1). …………5分 若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A，B)的个数为

01122nn

Cn(C0n－1)＋Cn(Cn－1)＋Cn(Cn－1)＋…＋Cn(Cn－1)

1222n2012n2 ＝(C0n)＋(Cn)＋(Cn)＋…＋(Cn)－(Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn). …………7分 1222n22 又(x＋1)n(x＋1)n的展开式中xn的系数为(C0n)＋(Cn)＋(Cn)＋…＋(Cn)，

11 且(x＋1)n(x＋1)n＝(x＋1)2n的展开式中xn的系数为Cn2n，

1222n2n2 所以(C0n)＋(Cn)＋(Cn)＋…＋(Cn)＝C2n.

12nn 因为C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时， nn 有序集合对(A，B)的个数为C2n－2. …………9分

所以，A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对(A，B)的个数为

n2nn

2n(2n－1)－(Cn2n－2)2－C2n

＝. …………10分

22