第五章 降雨和灌水入渗条件下土壤水分运动2

13i???z222??????????????1?t??2?t??3?t?????i?t???i?1?13i2???z222?????t??2?????t??3?????t?????i?????t???12???i?12?3??z?2??????t?2?1?????2????t2?????1???????22????????? ?2?1??3???2?t? （2-5-80）

?? ??2?1?5??????4?????2?????3?????t2????z11???t??1???2t?2????????3?3????2?2??t2?2?4???t??????i?2 ??1???i???t?2????i?12???将式（2-5-80）代入式（2-5-79）归并后得：

13?i?1???t2??2???t??3???t2?????i???t2?0 i?1式中前四项系数η1，η2，η3，η4分别为

?????1?D??????????1?1?2????1?????2?D??1???????2?D??2?????k???2???21????1??????2??????1????1???????D???2???2??????3?D??3?????2k??3??3????21?????2???????2????1????????2?2????1??????2??????1????1?????3?????? ????1?????2?????2????2?D?????3????????D??4?????k?2???2?41?????3???????2?????2??1?????2?4?????3?1?????2?????3?????2?1??????????2?3?????2?2??????2??????1??????4?????1?????2?????3?????1????D??4??????由于式（2－5－8l）左端等于零，所以η1=η2=η3=η4…=0

η1=0，即

D?1?????????1?????2????1?????2?D??1?????0 全式除以??????21?得 2-5-81）

2-5-82） （ （?????D??1?????1???D?1??0 22??1??????(D1)'??1(?)?0 ?1'(?)2???d?D????1?1(?) 即

d??d?(?)?2???d??式（2－5－83）表明，η1（θ）即为λ（θ）为水平入渗时解。 同理，以η2=0求得：

??d??2d?????2???i?i???d??D??d??????d????k????k??i?? （2-5-84） ????1???η3=0得：

?d??d?3????d???d?3????3???????????d??D?D （2-5-85） 3????????i2d??d?1?????d?1?????d?1????η4=0得：

22?d??d?2????d???d?2?????????2??4???d??D??D???????id??d?1?????d?1?????d?1?????22?d?3???d?2??????2? ????d??d??21?? （2-5-86）

根据以上各式，若已知η1（θ）则可逐步求得外η2（θ），η3（θ），…，即可求得方程（2－5－74）的解。由于收敛较快，求得前四项就足够精确了。

上述η1（θ），η2（θ），η3（θ），η4（θ）都较复杂，η1（θ）即为水平入渗时的λ，为了求解这些值并不容易，为此Philip 采用了递推公式求解。以下以求得η2为例说明求解方法。

为了求解系数，我们可以写出与式（2-5-39）类似的近似系数一般方程，则

???nfd???df?? （2-5-87） d?式中：α，β—均为θ的已知函数。

式（2－5－87）左边可以写作式（2－5－88），如图2－5－6所示。

???r?12nfd???fd????n?r?r??r12fd? （2－5

－88）

式（2一5－88）中右端第二个积分为

???r?12fd?

r由图 2－5－6可知，该积分近似等于h??，其中h为四边形BCDE的平均高度。Δθ取2得足够小时，DE可以看作为一直线，在梯形DFAC中h可以下式表示：

hr?fr?1?fr?1?fr??1?fr?1?3fr? （2-5-89） 44

???r?12n??1?fd???fr?1?3fr????1??r??4?r?2?1?fr?1?3fr????42r+1/2，则方程为

（2-5-90）

? ? 式（2-5-87）中，若θ=θ

??α

r+1/2

?r?12n?df?fd???????1 （2-5-91）

r?d???r?122为θ

r+1<θ<θ

r

范围内平均值，且以

??fr?1?fr?来近似（df/dθ）r+1/2（其负号

??表示θ值增加的方向与f值增加方向相反），代入式（2－5－91）得：

???r?12fd?????fr?1?fr?r?12n????r?12 （2-5-92）

将式（2－5－89）、式（2－5－91）代入式（2－5－88），经整理后得

???rnfd??1?fr?1?3fr??????r?1?fr?1?fr???r?1 42??2212令 Ir??1?????rnfd??1fr （2-5-94） 2将式（2一5－94）代入式（2－5－93）经整理后得：

fr?1??1??r?2??I?1?r???2?????f （2-5-95） ??r??1??r?2?1??????28?????式（2－5－95）为Philip的第一个递推公式。

第二个递推公式，将r改为r—l，则式（2－5－94）为

Ir?12?1?????r?12fd??n1fr?1 （2-5-96） 2将式（2－594t）4）与式（2－5－96）两式相减，得：

Ir?12?Ir?12?11??r1????fd????r?2fd?????fr?fr?1?

n?2???n ?1?????rr?1fd??1?fr?fr?1? 2?1?1?r1??r?fd????fr?fr?1? （2-5-97） 2fd?? ????2?1????r?1r?2??根据式（2－5－90）得：

???r?12fd??r?11????fr?3fr?1????? 42??

???rr?12?????1??fd???f1?3f1????

r???4?r?22?2??11?????fr?3fr?1?f1?3f1???fr?fr?1?

r?r??8?222?将式（2－5－98）代入式（2－5－97）经整理得：

Ir?12?Ir?12当Δθ足够小时，fr，fr+1/2，fr-1/2，fr-1非常接近，则上式可写作：

I或 Ir?12?I?Ir?12??fr

?fr （2-5-99）

r?12r?12式（2－5－99）即为PhiliP的第二个速推公式。根据该公式，令

In?In?12?1fn （2-5-100） 2由式（2－5－94），若r=n—l，则

In?12?1?????n?1nfd??1fn?1 （2-5-101） 2当r=n时，fn并不趋于无穷大，则由式（2－5－101）和式（2－5－99）可知，In=0。 以上两递推公式如果已知初始和边界条件即可交替使用，求得f～θ曲线。如果边界条件为θ=θ0时，f=0，且f0=0，则可由式（2－5－95）求得I1/2，由式（2－5－99）又可求得I，当 r= 1时，代入式（2－5－94）求得f2。重复以上过程即可求得f～θ曲线。当f=λ，η，ψ，ω等不同项的系数时，都可求得对应的与θ关系曲线。在某一t时，可以求得不同θ的z值，则可求得对应于不同t时的θ～z关系曲线，即求得任何时间剖面上含水率分布θ（z，t）。

入渗量计算如下：

渗入土壤的水量应等于流出水量与剖面上含水量变化之和，在半无限情况下，底部含水率将保持初始含水率，即为θn，导水率也为常量k，因此由下部流出水量

W出?knt （2-5-102）