2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）（解析版）

2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）

一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数

等于（ ）

A．i B．﹣i C．1 D．﹣1

222

2．（5分）已知命题p：若a＞b，则a＞b；q：“x≤1”是“x+2x﹣3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（ ）

A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q

3．（5分）记集合A={（x，y）|x+y≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

2

2

4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

A．7 B．9 C．10 D．11

3

5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm）为（ ）

A．π+

B．2

C．2π

D．

6．（5分）已知函数y=sin2x﹣①图象关于x=﹣②函数在[0，

对称；

cos2x，下列结论正确的个数是（ ）

]上的最大值为2

个单位后为奇函数． D．3

2

③函数图象向左平移A．0

B．1

C．2

7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=1﹣|1﹣（x﹣m）|关于y轴对称，记a=f（m+2），b=f（log5），c=f（e

），则a，b，c的大小关系是（ ）

2

A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 8．（5分）已知函数f（x）=

，如果关于x的方程f（x）=kx有四个不同的实数解，则k的取值范围

是（ ）

A．k＞1 B．k≥1 C．0＜k＜1 D．0＜k≤1

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二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.

9．（5分）已知集合A={﹣1，a}，B={2，b}，若A∩B={1}，则A∪B= ． 10．（5分）为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n= ． 11．（5分）如图，AB是⊙O的直径，且AB=3，CD⊥AB于D，E为AD的中点，连接CE并延长交⊙O于F，若CD=，则EF= ．

a

12．（5分）已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y=2px（p＞0）的焦点的距离为4，

2

且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的方程为 ． 13．（5分）已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为四边形ABCD外一点，设||

|=3，则（

+

）?（

﹣

）= ．

|=5，

14．（5分）设a＞0，b＞0，且不等式++

≥0恒成立，则实数k的最小值等于 ．

三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3sinA，周长为4（且sinB+sinC=sinA． （1）求a及cosA的值； （2）求cos（2A﹣

）的值．

+1），

16．（13分）某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少．今

年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大．已知两种产品直接受资金和劳动力的限制．根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如表：（表中单位：百元）试问：怎样确定两种货物的进货量，才能使五一期间的总利润最大，最大利润是多少？

资金 单位产品所需资金 资金供应量 空调机 洗衣机 30 20 440 成本 7 10 156 劳动力：工资 10 8 单位利润 17．（13分）己知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，

又知BA1⊥AC1

（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC； （Ⅱ）求点C到平面A1AB的距离；

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（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C余弦值的大小．

18．（13分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn、an、成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若

，设

，求数列{Cn}的前项和Tn．

19．（14分）如图，设椭圆C：+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴，且

?

=0．

负半轴上有一点B，满足=

（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l1：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；

（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

20．（14分）已知函数

（a＞0）．

（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣3，x1x2=﹣9，求函数f（x）的单调区间； （2）若

，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；

，求的取值范围．

（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于

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2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文

科）

参考答案与试题解析

一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2016春?天津校级月考）复数

等于（ ）

A．i B．﹣i C．1 D．﹣1

【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 【解答】解：复数

=

=

=i．

故选：A．

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．

2．（5分）（2015?万州区校级二模）已知命题p：若a＞b，则a＞b；q：“x≤1”是“x+2x﹣3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（ ） A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q

【分析】先判断命题p，q的真假，再利用复合真假的判定方法即可判断出正误．

22

【解答】解：命题p：若a＞b，则a＞b，不正确，举反例：取a=1，b=﹣2，不成立；

22

q：由x+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，因此“x≤1”是“x+2x﹣3≤0”的必要不充分条件，是真命题． ∴p∧q，￢p∧￢q，p∧￢q，是假命题，￢p∧q是真命题． 故选：B．

【点评】本题考查了复合真假的判定方法，属于基础题．

3．（5分）（2016?烟台一模）记集合A={（x，y）|x+y≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

2

2

2

2

2

【分析】由题意，根据几何概型的公式，只要求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用面积比求值． 【解答】解：由题意，两个区域对应的图形如图， 其中

，

，

；

由几何概型的公式可得点P落在区域Ω2中的概率为故选B．

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